Schnittpunkt zweier Diagonalen in einem Pyramidenstumpf berechnen

Question

Aufgabe:

Ich hab ein Blid von einem regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpf mit den Koordinaten der Punkte A( 8 l 0 l 0 ) und G( 2 l 6 l 5 ) gegeben.

a) Bestimmen Sie alle Eckpunktkoordinaten.

b) Errechen Sie den Raumwinkel ABF.

c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen BH und DF. Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittwinkel.

Problem/Ansatz:

ich habe ein Problem bei der c) der Aufgabe oben.

Bei a) habe ich die weiteren Koordinaten B( 8 l 8 l 0 ), C( 0 l 8 l 0 ), D( 0 l 0 l 0 ), E( 6 l 2 l 5 ), F( 6 l 6 l 5 ) und H( 2 l 2 l 5 ) herausbekommen.

Bei der b) habe ich einfach die Kosinusformel benutzt um den Winkel ausrechnen zu können und habe für β=69,63° rausbekommen.

Jedoch bin ich bei der c) am verzweifeln und finde nicht den richtigen Ansatz.

Ich hoffe jemand könnte mir helfen, zu verstehen wie genau ich an diese Aufgabe rangehen muss.

MfG

Comments

Das Bild zur Aufgabe:

Answer 1

Hallo,

du stellst für die Diagonalen Geradengleichungen auf und setzt diese gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

Den Schnittwinkel berechnest du mit der Formel

$$cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}\circ\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$$

Melde dich, wenn du noch weitere Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Vielen Dank!

Answer 2

c) Die Gleichungen von BH und DF berechnen und gleichsetzen. Das ergibt die jeweiligen Parameter für den Schnittpunkt. Die Richtungsvektoren von BH und DF in die Kosinusformel einsetzen. Das ergibt den Schnittwinkel.

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Vielen Dank!

Answer 3

b) hast du bereits völlig richtig gemacht.

Hier meine Idee zu c)

c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen BH und DF. Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittwinkel.

BH = H - B = [-6, -6, 5]
DF = F - D = [6, 6, 5]

S = [8, 8, 0] + r·[-6, -6, 5] = [0, 0, 0] + s·[6, 6, 5] → r = s = 2/3
S = [8, 8, 0] + 2/3·[-6, -6, 5] = [4, 4, 10/3] = [4, 4, 3.333]

α = ARCCOS([-6, -6, 5]·[6, 6, 5]/(ABS([-6, -6, 5])·ABS([6, 6, 5]))) = 118.98°
α' = 180° - 118.98° = 61.02°

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Genau das habe ich auch rausbekommen.

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Prima gemacht.

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Hallo, ich hätte eine Frage zu c) und zwar warum man am Ende 180- 118,98 rechnen muss und nicht die 118,98 das Ergebnis sind.

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Per Definition gibt man immer den kleineren der beiden Schnittwinkel an.

Alternativ kann man im arccos bereits den Betrag vom Skalarprodukt nehmen

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Okay vielen Dank!