Die Gerade g schneidet die Ebene E. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S. Aufgabe c)

Question

Aufgabe:

g enthält P(1/1/1) und Q(5/3/-1). E geht durch A(3/3/3), B(3/0/-6) und C(0/-3/-6).

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei der Aufgabe voran? Mein Ansatz wäre, dass ich aus den Punkten A, B und C die Parameterform bilde und dann die Koordinatenform. Ist dies richtig und was mache ich mit den Punkten P und Q?

Answer 1

Mein Ansatz wäre, dass ich aus den Punkten A, B und C die Parameterform bilde und dann die Koordinatenform.

Kannst du machen. Das wäre dann der Weg, den Der_Mathecoach zu deiner vorherigen Frage beschrieben hat.

Alternativ kannst du auch die Parameterformen von Gerade und Ebene gleichsetzen so wie ich das in meiner Antwort zu deiner vorherigen Frage gesagt habe.

was mache ich mit den Punkten P und Q?

Parameterform aufstellen:

        \(g: \vec x = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\).

Answer 2

Aloha :)

Die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) haben die Gleichungen hat die Gleichung:

$$g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}4\\2\\-2\end{array}\right)\quad;\quad E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\-3\\-9\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-3\\-6\\-9\end{array}\right)$$Zur Ermittlung des Schnittpunktes müssen beide \(\vec x\) gleichgesetzt werden:

$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}4\\2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\-3\\-9\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-3\\-6\\-9\end{array}\right)$$$$r\left(\begin{array}{c}4\\2\\-2\end{array}\right)-s\left(\begin{array}{c}0\\-3\\-9\end{array}\right)-t\left(\begin{array}{c}-3\\-6\\-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$Das führt auf folgendes Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{c}r & s & t & =\\\hline 4 & 0 & 3 & 2\\2 & 3 & 6 & 2\\-2 & 9 & 9 & 2\end{array}\right)$$Die Lösung dieses Systems lautet:$$r=\frac{1}{2}\quad;\quad s=\frac{1}{3}\quad;\quad t=0$$Der Schnittpunkt ist daher \(S(3|2|0)\).

Answer 3

Gerade g aufstellen
g: x = [1, 1, 1] + r·[4, 2, -2] = [4·r + 1, 2·r + 1, 1 - 2·r]

Ebene E in Parameterform aufstellen
E: x = [3, 3, 3] + r·[0, -3, -9] + s·[-3, -6, -9]

Normalenvektor
k·n = [0, -3, -9] ⨯ [-3, -6, -9] = [-27, 27, -9] = -9·[3, -3, 1]

Ebene in Koordinatenform
E: 3·x - 3·y + z = 3

g in E einsetzen
3·(4·r + 1) - 3·(2·r + 1) + (1 - 2·r) = 3 → r = 0.5

Schnittpunkt
S = [1, 1, 1] + 0.5·[4, 2, -2] = [3, 2, 0]