Question

Bestimmen Sie wie in Beispiel 1 die Ableitungsfunktion f' von f und berechnen Sie f'(2).

a) f(x)=2x²

b) f(x)=4x²

c) f(x)=-3x²

d) f(x)=1/2x²

Ich denke das Beispiel 1 ist irrelevant.

Bitte löst die Aufgabe, verstehe das ganze noch nicht so :/

Dankeschön!!

Comments

Ich denke das Beispiel 1 ist irrelevant.

Ich denke nicht. Geht es wieder um die h-Methode?

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ja genau, es geht um die h-Methode :)

Kannst du mir die Aufgaben lösen?

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$$f(x)=2x^2\\ f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}=\frac{2(x+h)^2-2x^2}{h}$$

Zuerst die Klammer mit der 1. Binomischen Formel auflösen:

$$ =\lim\limits_{h\to 0}=\frac{2(x^2+2hx+h^2)-2x^2}{h}$$

Dabei nicht vergessen, das Ergebnis in eine Klammer zu schreiben, weil nachher alles noch mit 2 multipliziert wird:

$$ =\lim\limits_{h\to 0}=\frac{2x^2+4hx+2h^2-2x^2}{h}$$

2x² - 2x² fällt weg, jetzt h im Zähler ausklammern, damit es gekürzt werden kann:

$$ =\lim\limits_{h\to 0}=\frac{h(4x+2h)}{h}$$

$$ =\lim\limits_{h\to 0}=4x+2h$$

Wenn h gegen null geht, dann wird 2h = 0 und es bleibt noch

$$f'(x)=4x$$

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dankeschön!!

Answer 1

Ich fände es besser, du würdest es selbst einmal versuchen.

Starthilfe: so beginnt die Ableitung zu a)

$$f(x)=2x^2\\ f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}=\frac{2(x+h)^2-2x^2}{h}$$

Comments

okay dankeschön, aber wie rechne ich jetzt weiter?

könntest du mir für a) einmal die komplette Rechnung geben und ich rechne dann bei b,c und d alleine weiter?

Answer 2

b) f(x)=4x²

Steigung = f ´ ( x ) = Δ y / Δ x

[ f ( x + h ) - f ( x ) ] / [ x + h - x ]

[ 4 * ( x + h ) ^2 - 4 * x^2 ] / [ h ]
[ 4 * ( x^2  + 2xh + h^2 ) - 4 * x^2 ] / h
[ 4 * x^2  + 4*2xh + 4*h^2  - 4 * x^2 ] / h
[ 8xh + 4*h^2  ] / h
8xh  / h + 4*h^2
8x + 4h
llim h -> 0 [ 8x + 4h ]
8x
f ´( x ) = 8x

Answer 3

Aloha :)

Im ersten Schritt setzt du die Funktion \(f(x)=2x^2\) in die Formel für den Differentialquotienten ein:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x+h)^2-2x^2}{h}$$Das Problem ist, dass du den Grenzwert \(h\to0\) jetzt noch nicht bilden kannst, weil das \(h\) im Nenner zu \(0\) würde und du dann durch \(0\) dividieren würdest, was mathematisch nicht definiert ist. Daher musst du den Bruch so umformen, dass das \(h\) aus dem Nenner verschwindet. Dazu rechnest du den Zähler aus:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)-2x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2x^2+4xh+h^2-2x^2}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{4xh+h^2}{h}$$Jetzt kannst du im Zähler ein \(h\) ausklammern und mit dem \(h\) im Nenner kürzen:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{h\cdot(4x+h)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(4x+h\right)$$Das \(h\) im Nenner ist weg und du kannst den Grenzwert \(h\to0\) bilden, indem du einfach \(h=0\) einsetzt:$$f'(x)=4x$$Jetzt kannst du \(x=2\) einsetzen und erhältst die Lösung: \(f'(2)=8\).

Diese Rechnung kannst du für (b), (c) und (d) genauso durchführen. Wenn du damit Schwierigkeiten hast, frag bitte einfach nochmal nach.

Comments

okay, das hab ich jetzt schon besser verstanden. Dankeschön !!

Ich habe jetzt c und d berechnet und wollte nachfragen, ob bei c) 6x rauskommt und bei d) 1x ?

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d ist richtig, bei c kommt -6x raus.

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okay danke!!