Das ist richtig, die Abbildung ist dann weder surjektiv noch injektiv.
Aber warum könnte sie dann auch nicht surjektiv sein?
Dimensionssatz: Für eine lineare Abbildung φ von V nach V gilt
dim(Kern φ) + dim(Bild φ) = dim(V).
Ist dim(Kern φ) > 0, dann ist dim(Bild φ) < dim(V) und deshalb Bild φ ≠ V.