Aloha :)
Zur Berechnung des Taylor-Polynoms 2-ter Ordnung benötigen wir den Funktionswert und die partiellen Ableitungen bis zur 2-ten Ordnung am Entwicklungspunkt \((\pi/2\,|\,0)\):
$$\begin{array}{llrllr}f(x,y)&=&(y+\cos y)\sin x & \Rightarrow & f(\pi/2,0)&=&1\\f_x(x,y)&=&(y+\cos y)\cos x & \Rightarrow & f_x(\pi/2,0)&=&0\\f_y(x,y)&=&(1-\sin y)\sin x & \Rightarrow & f_y(\pi/2,0)&=&1\\f_{xx}(x,y)&=&-(y+\cos y)\sin x & \Rightarrow & f_{xx}(\pi/2,0)&=&-1\\f_{xy}(x,y)&=&(1-\sin y)\cos x & \Rightarrow & f_{xy}(\pi/2,0)&=&0\\f_{yy}(x,y)&=&-\cos y\sin x &\Rightarrow& f_{yy}(\pi/2,0)&=&-1\end{array}$$Die allgemeine Taylor-Formel lautet:$$f(\vec r)=e^{(\vec r-\vec r_0)\vec\nabla}f(\vec r_0)$$Für 2 Dimensionen ist \(\vec r=(x,y)\), sodass:$$f(x,y)=\exp\left(\binom{x-x_0}{y-y_0}\binom{\partial_x}{\partial_y}\right)f(x_0,y_0)$$$$\phantom{f(x,y)}=\sum\limits_{n=0}^n\frac{1}{n!}\left((x-x_0)\partial_x+(y-y_0)\partial_y\right)^nf(x_0,y_0)$$Wir sollen bis zur Ordnung \(n=2\) um \((\pi/2\,|\,0)\) entwickeln:
$$f_2(x,y)=f\left(\frac{\pi}{2},0\right)+f_x\left(\frac{\pi}{2},0\right)\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+f_y\left(\frac{\pi}{2},0\right)\cdot y$$$$\phantom{f_2(x,y)}+\frac{1}{2}f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+f_{xy}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)y+\frac{1}{2}f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},0\right)\,y^2$$$$\phantom{f_2(x,y)}=1+0\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1\cdot y$$$$\phantom{f_2(x,y)}+\frac{1}{2}(-1)\,\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+0\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)y+\frac{1}{2}(-1)\,y^2$$$$\phantom{f_2(x,y)}=1+y-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2-\frac{1}{2}y^2$$
