Aufgabe:
Zur nichtlinearen Funktion \( f(x)=\frac{1}{x}-a \) mit Konstante \( a>0 \) soll die Nullstelle näherungsweise bestimmt werden.
a) Stellen Sie die Formel der gewöhnlichen Newton-Iteration zur Funktion \( f \) auf. Zur Kontrolle: Es folgt \( x^{k+1}=2 x^{k}-a\left(x^{k}\right)^{2} \).
b) Begründen Sie durch eine Taylor-Entwicklung der Iterationsfunktion im gewöhnlichen Newton-Verfahren, dass die Iteration hei obiger Funkion f lokal konvergent von Ordnung genau \( p=2 \) ist.
Problem/Ansatz:
Halo zusammen, könnte mir jemand bitte bei b) helfen? Ich habe was gemacht aber bin mir nicht sicher ob es richtig ist.
Meine Lösung:
Wir betrachten die Taylor-Entwicklung der Iterationsfunktion \( \Phi(x) = 2x - a \cdot x^2 \) um die Nullstelle \( \hat{x} \).
Die Taylor-Entwicklung für \( \Phi(x) \) um \( \hat{x} \) ist gegeben durch:
\( \Phi(x) = \Phi(\hat{x}) + \Phi'(\hat{x})(x - \hat{x}) + \frac{\Phi''(\hat{x})}{2!}(x - \hat{x})^2 + \ldots \)
Da wir wissen, dass \( \Phi(\hat{x}) = \hat{x} \) (da \( \hat{x} \) die Nullstelle von \( f(x) \) ist), betrachten wir nur den linearen und quadratischen Term:
\( \Phi(x) = \Phi(\hat{x}) + \Phi'(\hat{x})(x - \hat{x}) + \frac{\Phi''(\hat{x})}{2!}(x - \hat{x})^2 \)
Nun können wir den linearen Term ignorieren, da er verschwindet, da \( \hat{x} - \hat{x} = 0 \). Wir betrachten nur den quadratischen Term:
\( \Phi(x) = \hat{x} + \Phi''(\hat{x}) \cdot \frac{(x - \hat{x})^2}{2} \)
Da die Iteration des gewöhnlichen Newton-Verfahrens \( \Phi(x) \) linear gegen \( \hat{x} \) konvergiert, bedeutet dies, dass der Fehler nach einem Iterationsschritt proportional zum Quadrat des vorherigen Fehlers ist. Dies zeigt eine Konvergenzordnung von genau \( p = 2 \).
