Taylor-Entwicklung der Iterationsfunktion im gewöhnlichen Newton-Verfahren

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Aufgabe:

Zur nichtlinearen Funktion f(x)=1x−a f(x)=\frac{1}{x}-a mit Konstante a>0 a>0 soll die Nullstelle näherungsweise bestimmt werden.

a) Stellen Sie die Formel der gewöhnlichen Newton-Iteration zur Funktion f f auf. Zur Kontrolle: Es folgt xk+1=2xk−a(xk)2 x^{k+1}=2 x^{k}-a\left(x^{k}\right)^{2} .

b) Begründen Sie durch eine Taylor-Entwicklung der Iterationsfunktion im gewöhnlichen Newton-Verfahren, dass die Iteration hei obiger Funkion f lokal konvergent von Ordnung genau p=2 p=2 ist.


Problem/Ansatz:

Halo zusammen, könnte mir jemand bitte bei b) helfen? Ich habe was gemacht aber bin mir nicht sicher ob es richtig ist.

Meine Lösung:

Wir betrachten die Taylor-Entwicklung der Iterationsfunktion Φ(x)=2x−a⋅x2 \Phi(x) = 2x - a \cdot x^2 um die Nullstelle x^ \hat{x} .

Die Taylor-Entwicklung für Φ(x) \Phi(x) um x^ \hat{x} ist gegeben durch:

Φ(x)=Φ(x^)+Φ′(x^)(x−x^)+Φ′′(x^)2!(x−x^)2+… \Phi(x) = \Phi(\hat{x}) + \Phi'(\hat{x})(x - \hat{x}) + \frac{\Phi''(\hat{x})}{2!}(x - \hat{x})^2 + \ldots

Da wir wissen, dass Φ(x^)=x^ \Phi(\hat{x}) = \hat{x} (da x^ \hat{x} die Nullstelle von f(x) f(x) ist), betrachten wir nur den linearen und quadratischen Term:

Φ(x)=Φ(x^)+Φ′(x^)(x−x^)+Φ′′(x^)2!(x−x^)2 \Phi(x) = \Phi(\hat{x}) + \Phi'(\hat{x})(x - \hat{x}) + \frac{\Phi''(\hat{x})}{2!}(x - \hat{x})^2

Nun können wir den linearen Term ignorieren, da er verschwindet, da x^−x^=0 \hat{x} - \hat{x} = 0 . Wir betrachten nur den quadratischen Term:

Φ(x)=x^+Φ′′(x^)⋅(x−x^)22 \Phi(x) = \hat{x} + \Phi''(\hat{x}) \cdot \frac{(x - \hat{x})^2}{2}

Da die Iteration des gewöhnlichen Newton-Verfahrens Φ(x) \Phi(x) linear gegen x^ \hat{x} konvergiert, bedeutet dies, dass der Fehler nach einem Iterationsschritt proportional zum Quadrat des vorherigen Fehlers ist. Dies zeigt eine Konvergenzordnung von genau p=2 p = 2 .

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📘 Siehe "Taylor entwicklung" im Wiki

1 Antwort

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Beste Antwort

Du kannst nicht einfach x^\hat x in Teiltermen einsetzen, um sie loszuwerden.

Schau dir nochmal die Definition der Konvergenzordnung an.


In deinem Fall ist Φ\Phi ein Polynom 2. Grades. Damit bricht die Taylorentwicklung nach dem Glied 2. Grades ab, denn es gilt Φ′′(x)=−2a\boxed{\Phi''(x) = -2a} und beachte, dass x^=1a\boxed{\hat x = \frac 1a} ist:

xn+1=Φ(xn)=Φ(x^)⏟=x^+Φ′(x^)⏟=0(xn−x^)+12(−2a)(xn−x^)2x_{n+1} = \Phi(x_n) =\underbrace{\Phi(\hat x)}_{=\hat x} + \underbrace{\Phi'(\hat x)}_{=0}(x_n-\hat x) +\frac 12 (-2a)(x_n - \hat x)^2

⇒∣xn+1−x^∣=a∣xn−x^∣2 fu¨r n∈N\Rightarrow |x_{n+1}-\hat x | = a|x_{n}-\hat x|^2 \text{ für } n\in \mathbb N

Das ist exakte Konvergenz der Ordnung 2.

Avatar von 12 k

Danke für deine Antwort:)


Wieso ist x^=1a \hat{x}=\frac{1}{a}  ? Wie hast du das gerechnet? Und ist das wichtig zu rechnen? Wir haben es nirgendwo verwendet oder?


Und nich eine Frage: 1/2 * (-2a) = -a. Dann sollte die Lösung so aussehen :

⇒∣xn+1−x^∣=−a∣xn−x^∣2 fu¨r n∈N\Rightarrow\left|x_{n+1}-\hat{x}\right|=-a\left|x_{n}-\hat{x}\right|^{2} \text { für } n \in \mathbb{N}

Oder?

von

Zu deiner 1. Frage:
Der interessierende Fixpunkt des Newton-Verfahrens ist die positive Nullstelle von f(x)=1x−af(x) = \frac 1x - a. Das ist offenbar x=1ax= \frac 1a.

(Das Newton-Verfahren dient der numerischen Bestimmung von Nullstellen in Form eines Fixpunktproblems. D.h., der Fixpunkt der Iterationsfunktion ist dann eine Nullstelle der Ausgansfunktion.)


Zu deiner 2. Frage:
Es ist a>0a>0 laut Voraussetzung. Durch die Beträge verschwindet das Minus:

xn+1−x^=−a(xn+1−x^)2⇒∣xn+1−x^∣=a∣xn+1−x^∣2x_{n+1}-\hat x = -a(x_{n+1}-\hat x)^2 \Rightarrow |x_{n+1}-\hat x| = a|x_{n+1}-\hat x|^2

von

Φ′(x^)⏟=0(xn−x^) \underbrace{\Phi^{\prime}(\hat{x})}_{=0}\left(x_{n}-\hat{x}\right)

Ist Φ′( x^) = 0, weil Φ′(1/a)  = 0 ist oder gibt es einen anderen Grund?

von

Müssen wir So schreiben oder ist es nicht wichtig?

∣xn+1−1/a∣=a∣xn−1/a∣2 \left|x_{n+1}-1/a\right|=a\left|x_{n}-1/a\right|^{2}

von

Es gibt einen allgemeineren Grund im folgenden Sinne:

Φ′(x)=f(x)⋅f′′(x)[f(x)]2\Phi'(x) = \frac{f(x)\cdot f''(x)}{[f(x)]^2} (einfach mal selber nachrechnen und Φ\Phi differenzieren und dann vereinfachen)

Wenn x^\hat x eine einfache Nullstelle von f ist (also f′(x^)≠0f'(\hat x) \neq 0), dann ist Φ′(x^)=0\Phi'(\hat x) = 0.

von

Zu deiner letzten Frage:

Ob du x^\hat x oder 1a\frac 1a benutzt, ist hier unwesentlich, solang du irgendwo hinschreibst, dass x^=1a\hat x = \frac 1a ist.

von

Vielen Dank! :)

von

Ich habe noch eine Frage die auch darum geht:

Die Funktion f(x) f(x) besitze genau eine Nullstelle x^∈(0,14) \hat{x} \in\left(0, \frac{1}{4}\right) . Ein Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung sei quadratisch konvergent im Intervall [0,14] \left[0, \frac{1}{4}\right] mit der zugehörigen Konstante C=3 C=3 . Gegeben sei ein Startwert x0∈[0,14] x^{0} \in\left[0, \frac{1}{4}\right] und eine Genauigkeitsforderung ε<14 \varepsilon<\frac{1}{4} . Leiten Sie eine untere Schranke für die Schrittzahl k k in Abhängigkeit von ε \varepsilon her, womit ein Fehler ∣xk−x^∣≤ε \left|x^{k}-\hat{x}\right| \leq \varepsilon garantiert werden kann.


Könntest du mir bitte dabei helfen?

von

Ich sehe gerade, ich hab bei Φ′\Phi' einen Schreibfehler im Nenner:
Φ′(x)=f(x)⋅f′′(x)[f′(x)]2\Phi'(x) = \frac{f(x)\cdot f''(x)}{[f'(x)]^2}
Im Nenner musss die Ableitung stehen.

Deine weitere Frage solltest du als neue Frage stellen.

von

Danke :)

Deine weitere Frage solltest du als neue Frage stellen.

Das habe ich schon

https://www.mathelounge.de/1027849/nichtlineare-gleichungen-quadrati…

von

Ich habe bi) hinbekommen. Könntest du mir bitte da bei a) und bii) helfen?

von

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