Zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse liegt über dem Intervall eine Fläche.

Question

Aufgabe:

Zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=(1÷a)*x³+a² (a>0) und der x-Achse liegt über dem Intervall [0;1] eine Fläche.

A) Fertigen sie für a=1 eine Skizze an. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für a=1

B) Für welchen Wert von a wird der Inhalt der Fläche minimal?

Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt nur die Skizze per Taschenrechner angefertigt.

Answer 1

In ]0;1[ hat es keine Nullstellen, also

Integral von 0 bis 1 nehmen

a^2 + 1/(4a)  für a=1 ist das 1,25

und ansonsten nach a ableiten gibt

2a - 1(4a^2) und das ist 0 für

a=1/2.  Dort ist das Min.

Sieht für a=1 so aus :

~plot~ x^3+1 ~plot~