Infimum und Supremum von Mengen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Infimum und das Supremum der folgenden Mengen

a) Seien \( a<b<c \) reelle Zahlen und \( M_{1}:=\{x \in \mathbb{R} |(x-a)(x-b)(x-c)>0\} \)

b) \( M_{2}=\left\{(-1)^{n}\left(1+\frac{2}{n}\right) | n \in \mathbb{N}\right\} \)

c) \( M_{3}=\left\{\frac{3}{m}-\left(\frac{1}{5}\right)^{n} | m, n \in \mathbb{N}\right\} \)

Ich verstehe das mit dem Infimum und Supremum leider nicht, kann es jemand erklären?

Answer 1

Das Supremum einer nach oben beschränkten, nicht leeren Menge ist die kleinste obere Schranke, das Infimum einer nach unten beschränkten Menge ist die größte untere Schranke der Menge. Diese Begriffe sind eng verwandt mit den Begriffen Maximum bzw. Minimum. Der Unterschied ist: Supremum und Infimum müssen nicht Elemente der Menge sein. Sind sie jedoch Elemente der Menge, dann nennt man sie auch Maximum bzw. Minimum.

Beispiel:

Die Menge aller reellen Zahlen, die echt kleiner als 2 sind, ist nicht leer und nach oben beschränkt. Obere Schranken sind z.B. 2 ,  7 / 2 , √7, ...

Die kleinste obere Schranke ist 2, diese ist jedoch nicht selbst Element der Menge, denn 2 ist nicht echt kleiner als 2. Also ist 2 das Supremum der Menge, nicht aber deren Maximum.

Betrachtet man hingegen die Menge der aller reellen Zahlen, die kleiner oder gleich 2 sind, dann ist ebenfalls 2 die kleinste obere Schranke und somit das Supremum der Menge. Da aber 2 kleiner oder gleich gleich 2 ist, ist sie selbst auch Element der Menge und damit also auch ihr Maximum.

Analoge Überlegungen gelten für das Infimum und das Minimum einer Menge.

Zu deinen Aufgaben:

M₁:= { x ∈ R | ( a < b < c ) ∧ ( ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) > 0 ) }

Das Produkt dreier Faktoren ist genau dann größer als Null, wenn entweder alle drei Faktoren größer als Null sind oder wenn genau einer der Faktoren größer als Null ist und jeweils die beiden anderen Faktoren kleiner als Null sind, also:

( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) > 0

<=> [ ( x - a ) > 0 ∧ ( x - b ) > 0 ∧ ( x - c ) > 0 ] ∨ [ ( x - a ) < 0 ∧ ( x - b ) < 0 ∧ ( x - c ) > 0 ]

∨ [ ( x - a ) < 0 ∧ ( x - b ) > 0 ∧ ( x - c ) < 0 ] ∨ [ ( x - a ) > 0 ∧ ( x - b ) < 0 ∧ ( x - c ) < 0 ]

<=> [ x > a ∧ x > b ∧ x > c ] ∨ [ x < a ∧ x < b ∧ x > c ] ∨ [ x < a ∧ x > b ∧ x < c ] ∨ [ x > a ∧ x < b ∧ x < c ]

Wegen der Voraussetzung a < b < c  entfallen die beiden Terme [ x < a ∧ x < b ∧ x > c ] und [ x < a ∧ x > b ∧ x < c ], weil sie gegen diese Voraussetzung verstoßen. Übrig bleibt:

<=> [ x > a ∧ x > b ∧ x > c ]  ∨ [ x > a ∧ x < b ∧ x < c ]

<=> [ x > c ] ∨ [ a < x < b  ]

Also:

M₁ = { x ∈ R | ( a < b < c ) ∧ ( x > c ∨ a < x < b ) }

=> Inf ( M₁ ) = a , Sup ( M₁ ) = ∞ (das bedeutet: Die Menge M₁ hat kein Supremum)

Da a selbst nicht Element von M₁ ist, ist a nicht Minimum von M₁. Tatsächlich hat M₁ kein Minimum.

 

Die beiden anderen Mengen betrachte ich im Folgenden weniger formal, es geht mir eher darum, das Verständnis zu fördern:

Die Menge M₂ ist nicht leer und nach oben und nach unten beschränkt (wie man leicht nachweisen kann, ist z.B. 5 eine obere Schranke und - 8 eine untere Schranke).

Außerdem ist die Folge ( - 1 ) ⁿ ( 1 + ( 2 / n ) ) für gerades n streng monoton fallend, für ungerades n hingegen streng monoton wachsend.

Das bedeutet: Das größte Element von M₂ ist die Zahl, die zum kleinsten geraden Index, also zu n = 2, gehört und ihr kleinstes Element ist die Zahl, die zum kleinsten ungeraden Index, also zu n = 1 gehört.

Also ist:

Inf ( M₂ ) = ( - 1 ) ¹ ( 1 + ( 2 / 1 ) ) = - 3 , Sup ( M₂ ) = ( - 1 ) ² ( 1 + ( 2 / 2 ) ) = 2 

Sowohl Inf ( M₂ ) als auch Sup ( M₂ ) sind Elemente von M₂, also gilt auch:

Inf ( M₂ ) = min ( M₂ )  bzw. Sup ( M₂ ) = max ( M₂ )

 

Die Elemente der Menge M₃ sind die Differenzen der Werte zweier für m ∈ N und n ∈ N streng monoton fallender Nullfolgen a_m und b_n , nämlich a_{m =} 3 / m und b_n = ( 1 / 5 ) ⁿ

Die Differenz a_m - b_n ist am größten, wenn a_m so groß wie möglich und b_n so klein wie möglich ist. Das ist der Fall für m = 1 und n -> ∞ . In diesem Falle ist a_m - b_n = 3 - 0 = 3 . Dies ist die kleinste obere Schranke von M₃, also

Sup ( M₃ ) = 3

Da b_n = ( 1 / 5 ) ⁿ den Wert 0 niemals annimmt, ist 3 selber nicht Element von M₃ und somit nicht ihr Maximum. Tatsächlich hat M₃ kein Maximum.

Die Differenz a_m - b_n ist am kleinsten, wenn a_m so klein wie möglich und b_n so groß wie möglich ist. Das ist der Fall für m -> ∞ und n = 1. In diesem Falle ist a_m - b_n = 0 - ( 1 / 5 ) = - ( 1 / 5 ) . Dies ist die größte untere Schranke von M₃, also

Inf ( M₃ ) = - ( 1 / 5 )

Da a_m = 3 / m  den Wert 0 niemals annimmt, ist - ( 1 / 5 ) selber nicht Element von M₃ und somit nicht ihr Minimum. Tatsächlich hat M₃ kein Minimum.

Comments

 ich versuche es heute nachzuvollziehen (dafür brauche ich glaube ich noch ein bisschen Zeit) wenn ich dann noch eine Frage habe schreibe ich nochmal


vielen vielen Dank für Deine so ausführliche Antwort !!!

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vielen Dank für die verständliche Erklärung

Zitat:

Die Menge aller reellen Zahlen, die echt kleiner als 2 sind, ist nicht leer und nach oben beschränkt. Obere Schranken sind z.B. 2 ,  7 / 2 , √7, ...

 

--> kann es sein dass diese Menge dann gar kein Maximum besitzt?

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Und noch eine Frage..

Zitat:

Die Menge aller reellen Zahlen, die echt kleiner als 2 sind, ist nicht leer und nach oben beschränkt. Obere Schranken sind z.B. 2 ,  7 / 2 , √7, ...

ist 2 dann nicht die größte obere Schranke?

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--> kann es sein dass diese Menge dann gar kein Maximum besitzt?

Richtig! Die Menge besitzt ein Supremum (nämlich 2) aber da 2 selbst nicht Element der Menge ist, besitzt die Menge kein Maximum.

ist 2 dann nicht die größte obere Schranke?

Nein. Obere Schranken einer Menge sind alle diejenigen Zahlen, die größer oder gleich allen Elementen der Menge sind. Die kleinste dieser oberen Schranken wird Supremum dieser Menge genannt. Ist das Supremum selbst Element der Menge, dann nennt man es auch das Maximum der Menge.

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danke :)


wie kommt man darauf:

Sup ( M1 ) = ∞ (das bedeutet: Die Menge M1 hat kein Supremum)?

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Nun, da zur Menge M₁ auch alle diejenigen x gehören, für die gilt x > c ist die Menge M₁ nach oben unbeschränkt. Somit hat sie auch kein Supremum und das schreibt man so:

Sup ( M₁ ) = ∞

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wieso ist es wichtig das für diese x x>c gelten muss und nicht einfach x∈ℝ?


und ist bei der 2. Menge egal ob ich n∈ℕ vor oder nach dem Ι schreibe?

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heißt das wenn etwas werte zwischen 2 und 3 annimmt dann ist 3 zwar die obere und 2 die untere schranke aber z.b. 4 ist auch eine obere schranke und von diesen oberen schranken ist 3 einfach die kleinstmögliche?

 

ich verstehe jetzt auch wie man auf inf und sup kommt aber:

 

ZITAT: (wie man leicht nachweisen kann, ist z.B. 5 eine obere Schranke und - 8 eine untere Schranke).

wie sieht so ein nachweis aus. es ist mir jetzt inhaltlich logisch

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wieso ist es wichtig das für diese x x>c gelten muss und nicht einfach x∈ℝ?

Nun, erst durch die Berechnung wurde gezeigt, das die Menge M₁ alle diejenigen x ∈ R enthält, für die gilt:

a < x < b oder x > c

Erst durch das Teilergebnis x > c wurde also klar, dass M₁ nach oben unbeschränkt ist, also kein Supremum hat.

 

heißt das wenn etwas werte zwischen 2 und 3 annimmt dann ist 3 zwar die obere und 2 die untere schranke aber z.b. 4 ist auch eine obere schranke und von diesen oberen schranken ist 3 einfach die kleinstmögliche?

Genau so ist es! Und diese kleinstmögliche obere Schranke nennt man Supremum.

 

wie sieht so ein nachweis aus.

Beweis durch Gegenannahme:

Sei 5 keine obere Schranke von M₂ = { ( - 1 ) ⁿ ( 1 + ( 2 / n ) ) | n ∈ N }.

Dann gibt es eine natürliche Zahl n, sodass gilt: 

( -1 ) ⁿ ( 1 + ( 2 / n ) ) > 5

Da ein Produkt zweier Faktoren genau dann positiv ist, wenn entweder beide Faktoren  positiv oder beide Faktoren negativ sind, und da ( 1 + ( 2 / n ) )  für n ∈ N immer positiv ist, muss also auch ( - 1 ) ⁿ positiv, also gleich 1 sein, daher:

<=> 1 + ( 2 / n ) > 5

<=> 2 / n > 6

<=> n < 2 / 6 = 1 / 3

n ist dann also keine natürliche Zahl. Das ist ein Widerspruch, daher ist die Gegenannahme falsch und ihre Negation wahr. Also ist 8 doch eine obere Schranke von M₂.

Auf ähnliche Weise zeigt man, dass z.B. - 8 eine untere Schranke ist.