Symmetrie von ganzrationalen Funktionen berechnen

Question

Aufgabe:

ich soll die symmetrie folgender funktionen berechnen

a) (x+2 ) (x-2)

b) x^6-6x^2+1,73

Problem/Ansatz:

Lösungsweg wäre ganz toll um den vorgan nachzuvollziehen

Answer 1

Aloha :)

a)\(\quad f(x)=(x+2)(x-2)=x^2-4\)

b)\(\quad g(x)=x^6-6x^2+1,73\)

Beide Funktionen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das erkennt man daran, dass die Potenzen der \(x\) alle gerade sind. Wären die Potenzen alle ungerade, läge eine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. Bei gemischten Potenzen liegt keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Urpsrung vor.

Du kannst das auch ganz formal beweisen:$$f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$$$\quad\leadsto\quad\text{Achsensymmetrie}$$$$g(-x)=(-x)^6-6(-x)^2+1,73=x^6-6x^2+1,73=g(x)$$$$\quad\leadsto\quad\text{Achsensymmetrie}$$

Answer 2

Easy,

hier muss man für x den Ausdruck -x einsetzen und kucken, was passiert: Ändert der Gesamtausdruck sein Vorzeichen oder nicht?

Grüße

Mister

Comments

Das  muss man bei beliebigen Funktionen machen. Bei ganzrationalen Funktionen ist das Vorgehen wesentlich einfacher.

Answer 3

a) f(x)=1x² +0x¹ -4x⁰ .

b) f(x)= 1x⁶ + 0x⁵ +0x⁴ +0x³ -6x² +0x¹ +1,73x⁰

Ganzrationale Funktionen sind genau dann symmetrisch zur y-Achse, wenn nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen, also wenn alle Potenzen mit ungeraden Exponenten der Vorfaktor 0 haben.