P(9/8/5) und die gerade g(1/0/1)+t(4/1/3) ich muss den abstand zum Punkt bestimmen

Question

ich habe 4x1+1x2+3x3=4 berechnet doch mein Lehrer kommt auf 59. mein frage wie kommt man auf die 59 ist es nicht 1*4+0*+1*3=4?

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4x₁+1x₂+3x₃=4 ist eine Ebenengleichung. In deiner Überschrift geht es um den Abstand Punkt/Gerade. Was genau willst du wissen?

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wie mein Lehrer auf 4x1+x2+3x3=59 kommt

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Wie gesagt: Auch 4x₁+x₂+3x₃=59 ist eine Ebenengleichung und hat nichts mit dem Abstand Punkt/Gerade zu tun. Wie dein Lehrer auf 4x₁+x₂+3x₃=59 kommt, kann man mit deinen Angaben nicht herausfinden.

Answer 1

Dein Lehrer ist wie folgt auf die Gleichung gekommen. Er hat eine Hilfsebene durch den den Punkt \( P \) gelegt, die senkrecht zur Geraden \( g \) ist. In Formeln

$$  \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 $$ Das ausmultipliziert, ergibt Deine Ebene.

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danke viel mal!

Answer 2

Er kommt auf diese Ebene indem er aus dem Richtungsvektor der Geraden und den Punkt eine Ebene baut, die zur Geraden senkrecht steht

g(t):=(1,0,1)+t (4,1,3)

E:=(4,1,3)((x,y,z)-P)=0

\(E: \, 4 \; x + y + 3 \; z - 59 = 0\)

also eine senkrechte Verbindung von P und E herstellt.

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vielen dank!