Wie finde ich den "Punkt" t auf der Geraden, der zum Mittelpunkt einer Kugel den kleinsten Abstand hat?

Question

Aufgabe:

Ich möchte für ein Programm eine Gerade AO mit einer Kugel schneiden lassen und die Schnittpunkte berechnen.

Wie finde ich den "Punkt" t auf der Geraden, der zum Mittelpunkt der Kugel den kleinsten Abstand hat?

(Ist nicht wirklich ein Punkt, sondern eher ein Skalar von AO.
Problem/Ansatz:

Ich kenne nur das Lot-Fußpunkt-Verfahren, um den Abstand von Punkt und Gerade zu bestimmen. 

Ein Ansatz, den ich gefunden habe verwendet diese Methode, dass er eine Gerade AM vom Aufpunkt meiner Geraden zum Mittelpunkt der Kugel aufstellt und dann rechnet t = <AM,AO>.

Ich kenne noch die orthogonale Projektion, meine Vermutung ist, dass die Formel irgendwie zusammengebaut ist.

Warum funktioniert das, und woher kommt die Formel?

Hoffe ich konnte mein Problem halbwegs anschaulich machen.

Die Formel ist in diesem Video bei 1:45

LG

Comments

Verstehe ich deine Frage recht ?

Du hast eine Gerade
y = m * x + b
und
das hast einen Punkt ( xm | ym )
und jetzt willst du den kürzesten Abstand
berechnen ?

---

Hallo. Gerade ist in Parameterform. Ich versuche mir jetzt nur noch die Normierung zu veranschaulichen. Offensichtlich kann man sich damit ja Arbeit ersparen.

---

Bzw. rechnet man mit der parametrischen Darstellung der Geraden und der implizierten Darstellung der Kugel und rechnet so den Schnittpunkt aus...

Answer 1

Beim Lotfußpunktverfahren berechnest du doch den Lotfußpunkt.

Das ist der, den du suchst.

Comments

Hi, warum rechnet er in dem Video, wenn er t ausrechnet <AM,AO>?  ( t , was der Skalar ist: Ich nehme meine normierte Gerade AO und multipliziere sie mit t, um an den Punkt zu kommen)

Warum ist das Skalarprodukt von AM und AO t?

---

T ist der Fußpunkt des Lotes von M auf die Gerade mit

dem Aufpunkt A und dem normierten Richtungsvektor u.

Dann ist das Dreieck ATM rechtwinklig mit Hypotenuse AM

und den Katheten AT und MT.

Die Länge von AT ist wegen der Normierung von u der gesuchte

Parameter t, der beim Einsetzen in die Geradengleichung

den Lotfußpunkt T liefert.

In dem rechtwinkligen Dreieck ist nach Def. von cos für den

Innenwinkel α beim Punkt A:

cos (α) =   t / |AM| , also  t = |AM| * cos(α)       #

Andererseits nach Def. des Skalarproduktes

für zwei Vektoren a und b in der Form a*b = |a| * |b| * cos(α)

hier also   Vektor(AM) * u = |AM| * 1 * cos(α) , also das Gleiche wie bei #.

Also ist das gesuchte t genau das Skalarprodukt von AM mit dem

Richtungsvektor der Geraden.  So heißt es auch in dem Video.

Also nicht AM und AO sondern AM und u.

---

Die Normierung hatte ich vergessen! !

---

Sorry, kannst du bitte das nochmal erklären? "Die Länge von AT ist wegen der Normierung von u der gesuchte Paramter T". Er sagt ja nichts von Normierung..

---

Also das Ganze funktioniert nur wenn der eine Vektor normiert ist, also der Strahlenvektor die Länge 1 hat...? Ich glaube die Vektoren werden in der Computergrafik deswegen auch normiert, damit sich solche Sachen schneller rechnen lassen. Er nimmt halt einfach den Richtungsvektor, ohne zu sagen, dass der normiert ist.

---

Bzw. rechnet man mit der parametrischen Darstellung der Geraden und der implizierten Darstellung der Kugel und rechnet so den Schnittpunkt aus...

---

Doch, allerdings nicht sehr deutlich:

Going in the ray-direction for a certain amount of time

würde ich mal so interpretieren: Länge = 1.