Question

Bestimme den kleinsten Abstand der Parabel y=x^2 zum Punkt (0,2)

Mein ansatz war mit Pythagoras.

f(x)^2=Abstand^2= (0-x)^2+x^2 das ist aber offensichtlich falsch.

Wie definiere ich den abstand richtig?

Answer 1

Bestimme den kleinsten Abstand der Parabel y = x^2  zum Punkt (  0  |  2)

y ´ = 2 x

\( \frac{y-2}{x} \) =  - \( \frac{1}{2x} \)

y = -\( \frac{1}{2} \)  + 2  = 1,5

x^2  = 1,5

x₁   ≈ 1,225

x₂  ≈  -1,225

Nun kannst den kürzesten Abstand ausrechnen.

mfG

Text erkannt:

\( \forall \)

Moliets

Answer 2

Der Abstand ist \( \sqrt{x^2+(x^2-2)^2} \).

Answer 3

$$p(x)=x^2$$$$P(0;2)$$$$d^2=f(x)=x^2+(x^2-2)^2=x^4-3x^2+4$$$$f'(x)=4x^3-6x=0$$$$4x(x^2-1,5)=0$$$$f''(x)=12x^2-6$$Minimum bei $$x_1=+\sqrt{1,5} $$$$x_2=-\sqrt{1,5} $$$$d^2=1,5+0,25=1,75$$$$ d≈1,32$$

Comments

Hallo,

es liegt ein kleiner Rechenfehler beim Ausklammern von f' vor: In der Klammer sollte es 2*x^2 sein, dann stimmt das Ergebnis auch mit der ersten Lösung überein.

Gruß

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Danke, für den Hinweis.

Answer 4

Ein beliebiger Punkt auf der Parabel hat die Koordinaten (x|x²). Der Abstand des Punktes (0|2) zum Punkt (x|x²) hat den Wert
\( \sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2}=\sqrt{x^4-3x^2+4} \) .

Der Term \( \sqrt{x^4-3x^2+4} \) wird minimal, wenn \( x^4-3x^2+4 \) minimal wird.

Die Ableitung von \( x^4-3x^2+4 \) ist \( 4x^3-6x=4x(x^2-\frac{3}{2}) \).

Die Nullstellen davon sind 0 (mit einem lokalen Abstandsmaximum) sowie \( \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \), die jeweils auf ein Abstandsminimum führen.

Einsetzen von \( \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \), in den Abstandsberechnungsterm \(\sqrt{x^4-3x^2+4} \) . liefert den Minimalabstand von

\(\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4}=0,5\sqrt{7} \) .