Aloha :)
Wir betrachten zunächst \(g_1\):$$\left.\frac{c}{k+\left(\frac{c}{3}-k\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{links mit }k\text{ kürzen}$$$$\left.\frac{c/k}{1+\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{c}{k}-1\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{Setze }x:=\frac{c}{k}$$$$\left.\frac{x}{1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}}=113\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}}{x}=\frac{1}{113}\quad\right|\;\cdot x$$$$\left.1+\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}=\frac{x}{113}\quad\right|\;-1$$$$\left.\left(\frac{x}{3}-1\right)e^{-10c}=\frac{x}{113}-1\quad\right|\;\text{links und rechts Brüche auf Hauptnenner}$$$$\left.\frac{x-3}{3}\cdot e^{-10c}=\frac{x-113}{113}\quad\right|\;\cdot\frac{3}{x-3}$$$$\left.e^{-10c}=\frac{x-113}{113}\cdot\frac{3}{x-3}\quad\right.$$Dieselben Schritte wiederholen wir analog für \(g_2\) und erhalten:$$e^{-70c}=\frac{x-844617}{844617}\cdot\frac{3}{x-3}$$Daraus erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für \(x\):$$\left(\frac{x-113}{113}\cdot\frac{3}{x-3}\right)^7=\left(e^{-10c}\right)^7=e^{-70c}=\frac{x-844617}{844617}\cdot\frac{3}{x-3}$$$$\left(\frac{x-113}{113}\right)^7\cdot\left(\frac{3}{x-3}\right)^6=\frac{x-844617}{844617}$$Diese Gleichung ist wolframalpha-lösbar:$$x_1=0\quad;\quad x_2\approx5,82050722442\quad;\quad x_3\approx844619,2085219$$Wegen \(x=\frac{c}{k}\) und \(c\ne0\) fällt die Lösung \(x_1=0\) weg. Aus den beiden anderen Lösungen können wir 2 Lösungen für \(c\) bestimmen:$$e^{-10c}=\frac{x_2-113}{113}\cdot\frac{3}{x_2-3}\approx -1,00885161183<0$$$$e^{-10c}=\frac{x_3-113}{113}\cdot\frac{3}{x_3-3}\approx 0,02654521495574\quad\checkmark$$Die negative Lösung für \(x_2\) scheidet aus, weil die \(e\)-Funktion immer \(>0\) ist. Aus der dritten Lösung erhalten wir:$$c=-0,1\ln\left(e^{-10c}\right)=-0,1\ln(0,02654521495574)$$$$\underline{c\approx0,362890577519289}$$Oben hatten wir \(x=c/k\) gesetzt, sodass wir nun finden:$$\underline{k=\frac{c}{x}\approx4,29649922542437\cdot10^{-07}}$$
