Rekonstruktion einer Potenzfunktion mittels nicht linearen Gleichungssystems

Question

Aufgabe:

Ermittle aus den gegebenen Punkten der allgemeinen Potenzfunktion \(f(x)\) jeweils die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\).

a) \(f_1(x):\{(-2|-3.5);(-1|-2);(0|-0,5);(2|1)\}\)

(Die Aufgabe steht so in einem Schulbuch der 9. Klasse.)

Problem/Ansatz:

In der Schule wurde wohl folgender Ansatz vorgegeben (Informationen aus zweiter Hand):

$$ f(x)=a(x+b)^n+c\\\\ \begin{aligned} P_1(0|-0,5): &&-0,5&&=&&ab^n+c\quad&&(I)\\ P_2(1|0): &&0&&=&&a(1+b)^n+c&&(II)\\ P_3(2|7,5): &&7,5&&=&&a(2+b)^n+c&&(III)\\ P_4(3|40): &&40&&=&&a(3+b)^n+c&&(IV) \end{aligned} $$

Das die Punkte nicht mit der Aufgabe übereinstimmen, ist - vermute ich - unerheblich: Wahrscheinlich wurde ein anderes Beispiel vorgegeben, als aus dem Buch. Falls irgendjemand aber ein Muster erkennt (zumindest einer der Punkte stimmt ja überein) gebe ich die Informationen 1:1 wieder, wie sie mir vorliegen.

Davon abgesehen: Hat irgendjemand eine Idee, wie man dieses Gleichungssystem in der 9ten Klasse (oder auch überhaupt) lösen könnte bzw. einen grundlegend anderen Ansatz, wie man vorgehen könnte?

Danke für jegliche Hilfe!

Comments

... steht so in einem Schulbuch der 9. Klasse.

Spricht etwas dagegen, zu verraten, in welchem? (Autor, Titel, Verlag, Jahr....)

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Ich habe nur die eine Seite kopiert vor mir, kann ich aber nächste Woche nochmal nachschauen (siehe Kommentar unter der Antwort)

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Nachdem ich selbst nochmal etwas weiter rumprobiert habe, bin ich durch Reduzierung des Ansatzes auf \(f(x)=ax^n+c\) für die Punkte aus der Schule auf die Funktion \(f(x)=0,5x^4-0,5\) gekommen, auf welcher in der Tat alle 4 Punkte liegen.

Für die Aufgabe aus dem Buch liefert gleiches Vorgehen (mit den ersten 3 Punkten) allerdings die von Apfelmännchen erkannte Gerade \(f(x)=-1,5x-0,5\) , welche natürlich zu einem Widerspruch mit dem letzten Punkt führt... aber jetzt glaue ich erst recht, dass es eine einfache Lösung gibt, die ich übersehe... :p

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Nein, die Lösung führt nicht zu einem Widerspruch. Es ist ja offensichtlich auch möglich, eine Funktion zu finden, die durch alle 4 Punkte geht. Ich hatte den Ansatz nur nicht vollständig durchgerechnet, aber eben gesehen, dass die ersten drei Punkte auf einer Geraden liegen. In Frage gestellt hab ich das ja, weil mir das hier mit den "allgemeinen Potenzfunktionen" doch sehr schleierhaft vorkommt...

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Der von mir durchgeführte Lösungversuch mit vereinfachtem Ansatz (für den dann nur die ersten drei Punkte notwendig sind) führte zu einem Widerspruch im vierten Punkt, was einfach nur heißt, dass mein vereinfachter Ansatz nicht gültig ist.

Ich habe weder gesagt, dass es keine Lösung gibt, noch dass deine gemachte Beobachtung über die ersten drei Punkte falsch war. :p

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Achso, ich bin jetzt davon ausgedacht, dass du den Ansatz auch mit allen Punkten gemacht hast, weil "auf welcher in der Tat alle 4 Punkte liegen".

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Und noch ein letztes Mal:

Ich bin die anderen Aufgaben nochmal durchgegangen:
$$b)\quad f_2(x):\{(0|2);(1|3);(3|11);(4|18)\}\\ c)\quad f_3(x):\{(-2|3,2);(-1|0,2);(-\frac{1}{2}|\frac{1}{80});(0|0)\}\\ d)\quad f_4(x):\{(0|-1);(1|0);(8|1);(27|2)\}$$

und bei allen Aufgaben hat der Ansatz \(f(x)=ax^n+c\) vernüftige Funktionen geliefert auf denen alle 4 Punkte liegen:

\(f_2(x)=x^2+2,\quad f_3(x)=0,2x^4,\quad f_4(x)=x^\frac{1}{3}-1\)

Der vierte Punkt ist wahrscheinlich angegeben, da die Schüler in der 9. Klasse noch keine Logarithmen hatten und dann eine Extragleichung haben, um den Exponenten zu erraten/erkennen.

Daher gehe ich stark davon aus, dass in Aufagbe (a) der vierte Punkt doch fehlerhaft ist und eigentlich (1|1) lauten sollte.

Welches Buch auch immer es war... ich bin kein Fan! (vom Ansatz der Lehrerin auch nicht, bin mal sehr gespannt, ob sie den Ansatz in der Schule nochmal weiter besprechen werden).

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Danke für die Ergänzung. So wirklich überzeugt mich das Buch auch nicht. Bin aber dennoch am Titel etc. interessiert. :)

Answer 1

Für mich ist eine allgemeine Potenzfunktion eine Funktion der Form \(f(x)=ax^n\) mit \(a,n\in\mathbb{R}\), so dass der Ansatz aus der Schule also schon einmal nicht stimmt.

Bei dem Beispiel sieht man nun aber auch, dass die ersten drei Punkte auf der Geraden \(f(x)=1,5x-0,5\) liegen. Der letzte Punkt passt da nicht zu. Liegt hier ein Druckfehler vor? Aber auch das ist keine allgemeine Potenzfunktion...

Die ganze Aufgabe ist ziemlich seltsam oder ich verstehe da gehörig etwas falsch.

Comments

Auch ich hätte den Ansatz nicht so gewählt, allerdings hätte ich eine Funktion \(f(x)=ax^n\) auch einfach nur "Potenzfunktion" genannt, das zusätzliche "allgemeine" und der Fakt, dass 4 Punkte angegeben sind, lässt mich aber wundern, ob an dem Ansatz nicht vielleicht etwas dran ist...

Gute Beobachtung mit der Geraden, ich habe aber die kopierte Buchseite vor mir und bei Aufagbe b bis d sehe ich kein solches Muster, ich vermute, dies hat nicht viel zu sagen.

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Eine Potenzfunktion liegt vor, wenn \(a=1\). Daher ist der Zusatz "allgemein" schon sinnvoll. Aber zusammen mit der Verschiebung könnte natürlich auch eine allgemeine Potenzfunktion gemeint sein. Ich kenne das so allerdings nicht. Auch für die 9. Klasse finde ich das sehr ungewöhnlich. Und zusätzlich kommt dazu, dass es ja auch nur um die Umkehrfunktion geht. Um was für ein Buch handelt es sich?

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Wikipedia listet eine Potenzfunktion auch als \(f(x)=ax^n\), ist je nach Lehrer wahrscheinlich unterschiedlich definiert. Aber mit dem Punkt (0|-0,5) kann eine solche Funktion ja zumindest nicht gemeint sein.

Welches Schulbuch es genau war, kann ich leider im Moment nicht sagen - Berliner Schulbuch, aber keines der gängigsten Modelle. Hardcover, deutlich dicker als gewöhnlich und oftmals merklich anspruchsvoller... kann ich nächste Woche nochmal schauen.

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Würde mich sehr interessieren. Ich vermute aber, dass es ein recht altes Buch ist. Früher gab es noch Niveau, das gibt es heute nicht mehr. :)

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Ich bin ziemlich sicher, dass es ein relativ neues Buch war - sowohl vom Layout her, als auch von der Abnutzung des Buches her. Aber wie gesagt: ein Buch, dass nicht oft verwendet wird :p