Ich muss die Stelle x ermitteln und den Abstand d angeben

Question

Aufgabe

Im Intervall [-2;0]existiert genau eine Stelle x, für die der Punkt P des Graphen Gf einen maximalen Abstand zum Koordinatenursprung hat.

Ermittel diese Stelle x und gebe den maximalen Abstand d an.

Dabei ist Gf(x)=2×^3-6×+4

Problem/Ansatz:

Meine Lösung ist x=8 und d=980

Stimmt das Ergebnis?

Answer 1

Wenn du dir den Graphen ansiehst, erkennst du, dass der gesuchte x-Wert in der Nähe von -1 liegen muss.

Der Abstand eines Punktes P(x|y) vom Ursprung ist \(d=\sqrt{x^2+y^2}\).

Dabei ist \(y=2x^3-6x+4\).

Zielfunktion: \(d(x)=\sqrt{x^2+(2x^3-6x+4)^2}\).

Du musst nun den x-Wert mit \(d'(x)=0\) bestimmen, der im vorgegebenen Intervall liegt.

Laut wolframalpha führt das zu folgender Gleichung mit der angegebenen Lösung für x:

 \( 12 x^{5}-48 x^{3}+24 x^{2}+37 x-24=0 \Rightarrow x\approx-1.01047 \)

$$ d(-1,01047)\approx 8,0629083 $$

$$ d(-1)\approx 8,062258$$

x=-1 liegt also sehr dicht bei dem gesuchten Wert. Die Abstände unterscheiden sich erst ab der vierten Nachkommastelle.

Comments

Der tatsächliche Wert liegt etwas links von -1, ungefähr bei -1,010471787390122. Bei -1 liegt lediglich der Hochpunkt von f.

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@oswald:

Danke für den Hinweis. Ich habe es geändert.

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Vielen dank, aber ich muss doch mit den Hochpunkten rechnen?

Außerdem soll ich nur den x wert ermitteln und nicht errechnen und den abstand d ANGEBEN.

?oder sehe ixh das falsch?

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Hallo Babsi,

du musst doch die Stelle x ermitteln, bei der der Abstand am größten ist. Den Abstand zweier Punkte errechnet man mit dem Satz des Pythagoras \(d^2=x^2+y^2\).

Das führt zu \(d(x)=\sqrt{x^2+(2x^3-6x+4)^2}\). Von dieser Funktion muss jetzt das Maximum im gegebenen Intervall gefunden werden. Wahrscheinlich musst du das mit dem Taschenrechner herausfinden.

Answer 2

Meine Lösung ist x=8

In der Aufgabenstellung steht "Im Intervall [-2;0]". 8 ist nicht im Intervall [-2;0]. Also kann deine Lösung nicht stimmen.

Bestimme den Hochpunkt von

        d(x) = (f(x))² + x²

im Intervall [-2, 0]. Die x-Kooridnate ist der gesuchte Wert für x. Die y-Kooridnate ist das Quadrat des Abstandes.

Comments

Stimmt!

Ich bin so vorgegangen:

d(×)=f(x)

Die 1. Ableitung von d'(×)=6x^2-6

Dann rechne ich mir davon x aus und komme auf 1.

Die 1 setzte ich in meine f(x) ein und komme auf 8, somit habe ich mein lokales Maximum (-1/8)

Wie fahre ich dann fort?

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d(×)=f(x)

Der Ansatz ist ungeeignet.

Dann rechne ich mir davon x aus und komme auf 1.

Weitere Lösung ist -1.

Wie fahre ich dann fort?

Rechne die Aufgabe noch mal neu mit dem Ansatz, den ich in meiner Antwort genannt habe.

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Entschuldigung! Ich meine natürlich -1, ich habe das Vorzeichen vergessen !

Und der Ansatz wäre ja d(×)=f(x)

Etwas anderes kann ich mir nicht herleiten

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Und der Ansatz wäre ja d(×)=f(x)

Nein. Der Ansatz ist

        d(x) = f(x)² + x².

Der Abstand eines Punktes P(x | y) zum Koordinatenursprung ist

        √(x² + y²)

wegen Pythagoras.

Der Punkt soll auf dem Graphen von f liegen. Also ist y = f(x). Somit ist der Abstand

        √(x² + f(x)²).

Dieser Term ist etwas unhandlich abzuleiten. Daher folgende Überlegung:

• Der Wert des Termes √z ist dann möglichst groß, wenn z möglichst groß ist.

Deshalb reicht es, das x zu finden, für das

        d(x) = f(x)² + x²

möglichst groß ist.

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Dieser Term ist etwas unhandlich zum Ableiten

nicht unbedingt, aber deine nachfolgenden Überlegungen überflüssig :

d^2  =  x^2 + y^2   führt durch Ableiten auf   2dd' = 2x + 2yy'   und  d'=0  ergibt sich offenbar genau für  x + yy' = 0

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So ich habe jetzt mein Maximum (-1/8) wie fahre ich jetzt fort?

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Ich möchte es bitte nicht so kompliziert ausgeschrieben haben. Ich benötige eine relativ einfache und kurze Schreibweise.

Es gibt nur 4 Punkte auf diese Aufgabe.

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aber deine nachfolgenden Überlegungen überflüssig :

Deine Überlegungen sind überflüssig wenn man meinen Ansatz verwendet. Und jetzt?

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So ich habe jetzt mein Maximum (-1/8) wie fahre ich jetzt fort?

Das ist das Maximum von f. Das hilft nicht bei der Lösung der Aufgabe.

wie fahre ich jetzt fort?

So wie bereits früher erwähnt: Rechne die Aufgabe noch mal neu mit dem Ansatz, den ich in meiner Antwort genannt habe. Also:

\(\begin{aligned} d(x) & =f(x)^{2}+x^{2}\\ & =\left(2x^{3}-6x+4\right)^{2}+x^{2}\\ d'(x) & =2\left(2x^{3}-6x+4\right)\cdot\left(6x^{2}-6\right)+2x\\ 0 & =2\left(2x^{3}-6x+4\right)\cdot\left(6x^{2}-6\right)+2x \end{aligned}\)

Löse die unterste Gleichung.

Es gibt nur 4 Punkte auf diese Aufgabe.

Das ist ein Maß dafür, wieviel Zeit du in einer Klausur für die Aufgabe verwenden solltest. Schreibst du im Moment eine Klausur? Falls nicht, dann ist die Angabe irrelevant.

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Ich komme auf 0= 24×^5-96×^3+24-48×^2+2× und kanm damit jetzt nichts anfangen?

Muss ich dad ganze nach x umstellen?

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Ich komme auf 0= 24×⁵-96׳+24-48ײ+2×

Ich komme auf 0= 24x⁵ - 96x³ + 48x² + 74x - 48.

Muss ich dad ganze nach x umstellen?

Solche Gleichungen löst man mit dem Taschenrechner.

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Ich habe den GTR casio fx-7400G2, ich kanm es doch auch schriftlich rechen?

Ist mein ergebnis falsch. Und auf was möchten Sie hinaus?

Was mache ich mit der Formel?

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der Abstand entspricht dem Funktionswert.

Dann muss ich doch  die Extremstellen berechnen und dann das lokale Maximum nehmen. Somit hab ich dan x und kann den abstand berechnen in dem ich x in die funktionsgleichung einsetzte?

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Ich habe den GTR casio fx-7400G2

In der Bedienungsanleitung des Casio fx-7400GII steht ab Seite 120 (Kapitel 4 Abschnitt 2) wie du solche Gleichungen löst.

ich kanm es doch auch schriftlich rechen?

Nach 3 Semestern Mathestudium vielleicht.

Ist mein ergebnis falsch.

Dein Ansatz ist ungeeignet. Du hast den Hochpunkt von f berechnet. der Hochpunkt von f ist nicht der Punkt, der maximalen Abstand zum Koordinatenursprung hat.

Und auf was möchten Sie hinaus?

Das habe ich bereits mehrfach erklärt. Wenn dir einzelne Teile davon unklar sind, dann solltest du da gezielt nachfragen.

Was mache ich mit der Formel?

Welche Formel meinst du?

der Abstand entspricht dem Funktionswert.

Der Abstand zum Kooridnatenursprung ist nicht der Funktionswert von f.

Der Funktionswert f ist der Abstand zur x-Achse (bis auf Vorzeichen).