Jeder endliche Fastkörper ist planar

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Jeder endliche Fastkörper ist planar.

Einen Fastkörper haben wir so definiert:

In einem Fastkörper F gelten alle Körperaxiome bis auf eventuell Kommutativität der Multiplikation und das Distributivgesetz
x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z.

Ein Fastkörper F heißt planar, wenn für zwei Geraden l, l´ in A_2(f)=F^2 ,mit

l:y=mx+b

l´: y=xm´+b

gilt:

m ≠ m´⇒ ∀c aus F existiert ein x aus F sd: xm-xm´=c

Ein Hinweis war, die Abbildung

F →F

x↦xm-xm´ zu betrachten, dann würde ja aus Injektivität und der Endlichkeit von F die Surjektivität folgen, aber leider bin ich nicht weiter gekommen. Wäre über jeden Tipp dankbar.

Answer 1

Ich interpretierte das jetzt mal so: Die Axiome des Fastkörpers sind:

(F1) \( (F,+,0) \) abelsche Gruppe

(F2) \( (F\setminus\{0\},\cdot,1) \) Gruppe

(F3) rechtes Distributivgesetz: \( (x+y)\cdot z = x\cdot z + y \cdot z \)

Oder soll (F3) das linke Distributivgesetz sein? (Möglich ist beides.)

dann würde ja aus Injektivität und der Endlichkeit von F die Surjektivität folgen

Sehr guter Ansatz! \( m, m' \in F, m\neq m' \), wir zeigen die Injektivität von \( \varphi : F \to F, x \mapsto xm - xm' \).

Seien hierfür \( x,y \in F \) mit \( \varphi(x) = \varphi(y) \) (zz. \( x = y \)) $$ \begin{aligned} xm - xm' = ym - ym' &\stackrel{\text{(F1)}}{\implies} xm - ym = xm' - ym' \\&\stackrel{\text{(F3)}}{\implies} (x-y)m = (x-y)m' \end{aligned} $$ Für den letzten Schritt muss man sich noch überlegen, warum \( (-y)\cdot m = -(y\cdot m) \). Aber da \( ym + (-y)m \stackrel{\text{(F3)}}{=}(y-y)m = 0m \stackrel{?}{=} 0 \implies (-y)m = -(ym) \).

Falls jetzt \( x \neq y \) ist \( x - y \neq 0 \). Wir können also nach (F2) von links mit dem Inversen multiplizieren und erhalten \( m = m' \). Widerspruch zur Voraussetzung, also \( x = y \).

Comments

Super vielen Dank :)

Und dann kann ich folgern, dass die Abbildung auch surjektiv ist und dass F damit planar ist, oder?

An einer Stelle (0_m=0) steht ein Fragezeichen, meinst du, das müsste man dann auch noch näher begründen? Mache ich dass wie im "Ring-Fall"?:)

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Achso sorry ja (F3) soll rechtes Distributivgesetz sein

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Und dann kann ich folgern, dass die Abbildung auch surjektiv ist und dass F damit planar ist, oder?

Ja genau deine Überlegung dazu ist vollkommen richtig.

An einer Stelle (0_m=0) steht ein Fragezeichen, meinst du, das müsste man dann auch noch näher begründen? Mache ich dass wie im "Ring-Fall"?:)

$$ 0m = (0+0)m = 0m + 0m \implies 0m = 0 $$

Ich sehe hier zumindest nichts anbrennen :)