Endliche Körper / Polynomringe

Question

Hallo alle zusammen, ich habe ein folgendes Problem:

Aufgabe:

Stellen Sie für jedes Polynom mit Grad 3 in Z2[x] fest, ob es reduzibel oder irreduzibel ist. Schreiben Sie jedes reduzible Polynom als Produkt seiner irreduziblen Faktoren.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung, wie hier vorzugehen ist.

Hier ist aber, was ich aufschreiben konnte:

Z2[x] besteht aus den Koeffizienten 0 & 1

Der Grad k = 3, somit gibt es im Körper bzw. Restklassenpolynomring 2^3 = 8 Elemente

Alle Elemente innerhalb davon werden den Grad kleiner gleich 2 haben:

-> {0, 1, x, x+1, x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1}

Die Form für ein Polynom 3. Grades lautet: a3*x^3 + a2*x^2 + a1*x + a0

Außerdem: reduzibel bzw. irreduzibel heißt, ob eine Nullstelle vorliegt oder nicht.

In der Lösung steht aber folgendes:

"x^3 + x + 1 und x^3 + x^2 + 1 sind irreduzibel. Die übrigen sechs Polynome sind reduzibel."

Das heißt also, dass die Elemente nicht den Grad kleiner gleich 2 haben.

Könnte mir jemand bitte helfen? Liebe Grüße :)

Answer 1

Das heißt also, dass die Elemente nicht den Grad kleiner gleich 2 haben.

Na klar, da stand doch Grad=3.

Und davon gibt es 8 Stück, hattest du doch auch geschrieben.

a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0  ist auch OK, aber wegen Grad=3 muss a3=1 sein.

Also hast du:

x^3 = x*x*x

x^3 + x^2 = x*x*(x+1)

x^3 +x = x*(x^2+1)=x*(x+1)*(x+1)

x^3+1 =(x+1)*(x^2+x+1)

x^3+x^2+x = x*(x^2+x+1)

x^3+x^2+1 irreduzibel

x^3+x+1  irreduzibel

x^3+x^2+x+1 =(x+1)*(x+1)*(x+1)

Comments

Guten Tag, vielen Dank für deine Antwort!

Mir ist die Lösung leider noch nicht ganz verständlich:

Wie gehe ich allgemein hierbei vor? Wie hast du das Ergebnis bekommen? Wie bilde ich die 8 Elemente?

Meine Idee:

Etwa aus der Form des Polynoms?

Ein Polynom 3. Grades startet ja mit x^3 + ...

Oder genauer formuliert:

Da das Polynom eben mit x^3 beginnt, kann ich die von dir notierten Polynome 3. Grades (die ich nicht weiß, wie man sie bekommt) mit den Polynomen hieraus zerlegen / faktorisieren kann:

-> {0, 1, x, x+1, x2, x2+1, x2+x, x2+x+1}

Stimmt das?

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notierten Polynome 3. Grades (die ich nicht weiß, wie man sie bekommt)

Du hattest doch schon die allgemeine Form

1*x3 + a2*x2 + a1*x + a0

Dann kannst du für a2 a1 a0  die möglichen

Werte 0 und 1 einsetzen. Mehr gibt es ja in F₂ nicht.

Und reduzibel sind sie -wie du sagst- , wenn sie eine

Nullstelle haben.

Bei Nullstelle 0 kannst du den Faktor und

bei 1 den Faktor (x-1) bzw. hier auch (x+1)

abspalten.

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Ahaaaaa! Ich denke ich habe es verstanden:

Da das ganze Polynom einen Koeffizienten von 1 am Anfang bereits hat, setzten wir für die anderen a's jeweils die Werte aus der Menge Z2 = {0, 1} ein.

Das heißt also folgendes:

Form: a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0

Du schreibst oben, dass beispielsweise x^3 = x*x*x gilt.

-> Alles außer a3 = 1 ist 0 (1*x^3+0*x^2+0*x+0)

Dann suchen wir für x^3 einen Wert zum Einsetzen aus Z2 = {0, 1}, welcher x^3 = 0 bringen soll

-> (wäre in dem Fall 0, da 0^3 = 0)

       -> Somit ist x^3 reduzibel / hat eine Nullstelle in Z2

Somit können wir x^3 auf x*x*x herunterkürzen bzw. faktorisieren. Genau dasselbe folgt nun auch beim Rest.

Richtig? Gehört es sich so?

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Na das ist doch prima !

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Mensch, da fühlt man sich doch gleich, als hätte man im Lotto gewonnen!!

Vielen lieben Dank, wirklich!!

Ich wünsche dir & allen, die es bisher geschafft haben noch ein sexy Wochenende! ;D