K[x]/fK[x] ist ein Körper (Beweis verstehen)

Question

Aufgabe: Angenommen ich habe einen Körper K und ein irreduzibles Polynom f. Dann ist \( K[x] / f K[x]\) ein Körper.

\( K[x] / f K[x]\) ist ein Ring deshalb genügt es zu zeigen, dass jedes Element ein Inverses hat. Jetzt habe ich folgenden Beweis:

Sei \(q+f K[x] \in K[x] / f K[x]\)
von 0 verschieden und so gewählt, dass \( q \) ein Rest bei Division durch \( f \) ist. Damit ist \( f \) kein Teiler von \( q \), und da \( f \) irreduzibel ist, folgt \( \operatorname{ggT}(f, q)=1 \). Dann gibt gibt es \( u, v \in K[x] \) mit \( f u+q v=1 \).
\( \begin{array}{c} (q+f K[x])(v+f K[x]) \\ =q v+f K[x] \\ =q v+f u+f K[x]=1+f K[x] . \end{array} \)

Also ist \( v+f K[x] \) das Inverse zu \( q+f K[x] \) in \( K[x] / f K[x] \).

Kann mir jemand ein wenig bei den Zwischenschritten von der Rechnung weiterhelfen? Rechnet man da jetzt sozusagen mod(f), also jedes vielfache vom Polynom f ist 0? Weil wenn ich rechne:

$$(q+f K[x])(v+f K[x])=qv+qfK[x]+vfK[x]+(fK[x])^2$$

komme ich halt irgendwie nicht so recht auf den Rest der Gleichung.

Comments

Kennst du die Verknüpfungen auf einem Faktorring R/I?

Es ist

(a + I) + (b + I) = (a+b) + I

(a + I) * (b + I) = (a*b) + I

Für das erste Gleichheitszeichen muss man die nur einsetzen.

Weiter gilt

x + I = y + I <=> x-y ∈ I

Deshalb ändern sich Restklasse nicht wenn man die Vertreter um Elemente aus I verändert.

qv+fK[x]=qv+fu+fK[x] da offensichtlich

fu ∈ fK[x]

Man addiert quasi einfach nur geschickt eine 0:

fu+fK[x]=0+fK[x]

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Vielen lieben Dank, ich hatte die Def. von der Multiplikation sogar aufgeschrieben und vergessen, dass es sie gibt. Das hat sehr weitergeholfen.