2 Arten von Münzen: Wenn man 4 mal Kopf hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nochmal Kopf kriegt?

Question

Aufgabe: Es gibt 8 faire Münzen, also Wahrscheinlichkeit ist 0,5 für Kopf oder Zahl. Es gibt eine weiter Münze, die auf beiden Seiten Kopf hat (unfaire Münze). Also gibt es insgesamt 9 Münzen. Eine Münze wird ausgewählt und 4 mal geflippt.

a) Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass man 4 mal Kopf bekommt.

b) Wenn man 4 mal Kopf hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nochmal Kopf kriegt?

c) Finde die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze fair ist bzw. unfair, wenn die Anzahl der Köpfe bekannt ist.

Problem/Ansatz:

a)

\( P(X=4)=\frac{8}{9} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\frac{1}{9} \cdot(1)^{4}=\frac{1}{6} \)

X = Anzahl der Köpfe, P(faire Münze) = 8/9, P(unfaire Münze) = 1/9,

b) Bedingte Wahrsheinlichkeit:

P(Kopf | P(X=4)) = \( \frac{P(Kopf ∩ X = 4)}{P(X=4)} \)  <= Hier fängt mein Problem an. Wie mache ich da weiterß

c)

\( P(X=4)=\frac{8}{9} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\frac{1}{9} \cdot(1)^{4}=\frac{1}{6} \)

Bei der weiß ich überhaupt nicht, was ich machen muss. Ich habe auch keine ähnliche Aufgabe gefunden.

Answer 1

zu b)

Vergiss die sinnlose Formel.

Münzen haben kein Gedächtnis. Wenn jetzt eine Münze viermal geworfen wird ist es völlig unerheblich, was in den 4 vorherigen Versuchen passiert ist.

Comments

P(Kopf) = \( \frac{8}{9} \) * \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{1}{9} \) * 1 = \( \frac{5}{9} \)
Ist die Lösung jetzt richtig?

Und wie macht man die c)?

Answer 2

Aloha :)

a) ist richtig.

b) Es ist egal, wie oft man vorher Kopf hatte, Münzen können sich so was nicht merken. Wirft man aktuell mit einer fairen Münze \((Wk: \frac{8}{9})\) ist die Wk für Kopf \((Wk: \frac{1}{2})\). Wirft man aktuell mit der unfairen Münze \((Wk: \frac{1}{9})\), fällt Kopf sicher \((Wk: 1)\). Zusammengefasst also:$$p_b=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\cdot1=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\approx55,56\%$$

c) Die Anzahl der Würfe sei \(n\), davon sei \(k\)-mal Kopf gekommen. Wenn \(k<n\) ist, wissen wir, dass sicher mit einer fairen Münze geworfen wurde, weil sich die Bildseite ja mindestens einmal gezeigt hat:$$k<n\quad\Rightarrow\quad p(\text{faire Münze})=1\quad;\quad p(\text{unfaire Münze})=0$$Interessant ist daher nur der Fall \(n=k\), wenn also in jedem der \(n\) Würfe ein Kopf zu sehen war. Bei einer fairen Münze ist die Wk dafür:$$p_n(\text{fair})=\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{2^n}$$Bei einer unfären Münze ist die Wk dafür $$p_n(\text{unfair})=1$$Gemäß ihres Vorkommens addieren wir beide Wk zur Gesamt-Wk für \(n\) Köpfe:$$p_n=\frac{8}{9}\cdot p_n(\text{fair})+\frac{1}{9}\cdot p_n(\text{unfair})=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2^n}+\frac{1}{9}=\frac{1}{9}\left(\frac{8}{2^n}+1\right)=\frac{8+2^n}{9\cdot2^n}$$$$p_n(\text{unfaire Münze})=\frac{\frac{1}{9}\cdot1}{\frac{8+2^n}{9\cdot2^n}}=\frac{1}{9}\cdot\frac{9\cdot2^n}{8+2^n}=\frac{2^n}{8+2^n}$$$$p_n(\text{faire Münze})=\frac{\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2^n}}{\frac{8+2^n}{9\cdot2^n}}=\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2^n}\cdot\frac{9\cdot2^n}{8+2^n}=\frac{8}{8+2^n}$$

Comments

Die Wahrscheinlichkeit bei b) ist inWirklichkeit 5/6 .

Und wenn ich in 4 Würfen genau zweimal Kopf habe, würde ich um fünf Rollen Klopapier wetten, dass die Münze echt ist.

Answer 3

a) Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass man 4 mal Kopf bekommt.

Bei einer fairen Münze ist diw Wahrscheinlichkeit für
4 mal Kopf = 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/16

Eine Münze wird zufällig ausgewählt

Gesamtwahrscheinlichkeit 8/9 * 1/16 = 1 / 18

Bei der unfairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit
für Kopf = 1

Gesamtwahrscheinlichkeit 1/9 * 1 = 1 / 9

Beide Möglichkeit
1 / 18 + 1 / 9 = 3 / 18 = 1 / 6 = 16.66 %

b) Wenn man 4 mal Kopf hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nochmal Kopf kriegt?

Für die faire Münze gilt
8/9 * (1/2) ^5
Unfaire Münze
1/9 * 1

Beides addieren = 1 / 36 + 1/9 = 5 / 36 = 0.1389