Äquivalenzrelation: Reflexion, Symmetrie, Transitivität bei Ungleichungen

Question

Hallo, ich komme bei einer bestimmten Fragestellung nicht weiter. Im Skript wurden diese 3 oben genannten Eigenschaften relativ gut erklärt und ich verstehe auch theoretisch was sie bedeuten. Im Skript waren sehr einfache Beispiele und die erste Aufgabe die wir machen mussten war das hier: R = {(m, n) ∈ Z × Z | m ≥ n} was wie ich denke reflexiv und transitiv ist, aber nicht symmetrisch, da zum Beispiel 5>=1 gilt aber nicht 1>=5. (war das richtig?)

Nun zur Aufgabe mit der ich Probleme habe.

Aufgabe:  R= {(m, n) ∈ Z × Z | m · n > 0} ∪ {(0, 0)} : Beweisen ob Reflexivität, Symmetrie, Transitivität zutrifft

Problem/Ansatz:

Ich dachte jetzt, dass es nicht reflexiv ist, weil zum Beispiel (-1, 1) in m * n > 0  nicht wahr wäre. Und symmetrisch dachte ich wäre es nur wegen der "∪ {(0, 0)}" und dies immer zutreffen würde.

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie man diese drei Eigenschaften auf solche Gleichungen überprüfen kann die nicht nur aus Variabeln auf je einer Seite bestehen. Also auch zum Beispiel wie man

R = {(m, n) ∈ Z × Z | m = 2 · n}.
R = {(m, n) ∈ Z × Z | m = 3}.

überprüfen soll. Mich irritieren irgendwie die Zahlen. 

Gibt es ein generelles Vorgangsschema an dem man sich orientieren kann? Wikipedia hat auch nur bedingt geholfen.

Vielen dank fürs durchlesen erstmal und danke im Voraus für die Antworten.

Answer 1

was wie ich denke reflexiv und transitiv ist, aber nicht symmetrisch, da zum Beispiel 5>=1 gilt aber nicht 1>=5. (war das richtig?)

Das war richtig.

Ich dachte jetzt, dass es nicht reflexiv ist

R ist refelxiv, weil (z, z) ∈ R für jedes z ∈ ℤ ist.

• Ist z < 0, dann ist nach Rechenregeln für negative Zahlen z·z > 0
  
• Ist z > 0, dann ist nach Anordnungsaxiomen  z·z > 0
  
• Ist z = 0, dann ist (z, z) ∈ R weil {(0, 0)} ⊂ R ist.

Und symmetrisch dachte ich wäre es nur wegen der "∪ {(0, 0)}"

Nein. Symmetrisch ist R wegen des Komutativgesetzes. Für m,n ≠ 0 gilt

        (m,n) ∈ R ⇒ m·n > 0 ⇒ n·m > 0 ⇒ (n, m) ∈ R.

Comments

Ist z < 0, dann ist nach Rechenregeln für negative Zahlen z·z > 0

Ist damit gemeint, zum Beispiel wenn z = -1, oder jede andere negative Zahl sich wegen dem Minus mal Minus das immer auflöst und daher immer größer 0 ist?

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Genau das ist gemeint.

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Und wie kann man hier die transitivität nachweisen? Braucht man hier auch ein drittes Element, z.B. k.

Ich verstehe nur aus dem Beispiel von m ≥ n, dass wenn k ≥ m gilt auch k ≥ n gelten muss. Aber wie kann man das hier nachweisen?

Und vielen dank für die Erklärung, vor Allem mit dem Komutativgesetz, das macht einiges klarer.

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Und wie kann man hier die transitivität nachweisen? Braucht man hier auch ein drittes Element, z.B. k.

Ja.

Seien m,n,k ∈ ℤ mit (m,n) ∈ R und (n,k) ∈ R.

Begründe, dass dann auch (m,k) ∈ R ist.

Das geht wieder mit einer Fallunterscheidung:

1. m > 0
2. m < 0
3. m = 0
   

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Heißt das, dass bei m > 0 ; m ist z.B -1 und k ist auch eine negative Zahl? 

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Heißt das, dass bei m > 0;

Das Zeichen > bedeutet "ist größer als".

m ist z.B -1

Nicht wenn m > 0 ist. Weil -1 ist nicht größer als 0.

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Ja tut mir leid ich meinte m < 0 ich habe das falsch geschrieben. Aber muss in dem Fall k auch negativ sein?

Wenn m < 0 und n<0 dann stimmt ja m * n >0

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Wenn m < 0 und n<0 dann stimmt ja m * n >0

Mehr noch. Wenn m < 0 ist, aber nicht n < 0 dann ist auch nicht m·n > 0.

Wenn also m < 0 ist und (m, n) ∈ R ist, dann muss deshalb n < 0 sein.

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Warum weiß man, dass wenn m < 0 ist n < 0 ist? Was ist hier mit (m,n) ∈ R gemeint? Und wie kommt man dann von n < 0 zu k < 0?

Tut mir leid für die vielen Fragen, aber ich finde das Thema sehr verwirrend.

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Warum weiß man, dass wenn m < 0 ist n < 0 ist?

Das weiß man nicht.

Man weiß es nur dann, wenn m < 0 und (m,n) ∈ R ist.

Was ist hier mit (m,n) ∈ R gemeint?

Dass das Paar (m,n) in der Relation R enthalten ist. Das wird manchmal auch "m R n" geschreiben.

Und wie kommt man dann von n < 0 zu k < 0?

Überhaupt nicht. Man kommt von

        n < 0 und (n,k) ∈ R

zu

        k < 0.

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Ich versteh irgendwie den Zusammenhang nicht. Nur weil das Paar (m,n) in R enthalten ist, warum kann nicht zum Beispiel m =-1 und n=5 sein.

Ist das wegen dem Z x Z (wegen dem Kreuzprodukt oder ist das wieder was anderes?)

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Nur weil das Paar (m,n) in R enthalten ist, warum kann nicht zum Beispiel m =-1 und n=5 sein.

Weil dann m·n < 0 wäre. R enthält aber keine solchen Paare, sondern nur Paare, bei denen m·n > 0 ist und das Paar (0,0).

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Ah okay also. (m,n) kann nur Paare enthalten die die Gleichung m * n > 0 erfüllen.

Und das geht entweder nur für

m < 0, dann muss auch n < 0 sein

m = 0, gilt es nicht, da egal was n ist multipliziert mit 0 nicht größer als 0 sein kann

m > 0, dann muss n > sein

und dann für k:

wenn n < 0 muss auch k < 0 sein um n * k > 0 zu erfüllen und

wenn n > 0 muss auch k > 0 sein.

Oder?

Können wir einfach k in (m,n) zu (m,n,k) hinzufügen und davon ausgehen, dass es die Gleichung erfüllen muss? Weil bei k wissen wir ja nicht, weil wir nicht wissen ob es ein mögliches Paar der Relation ist, das es größer oder kleiner 0 ist.

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(m,n) kann nur Paare

(m,n) ist ein Paar. Stattdessen: "R kann nur Paare enthalten ..."

m = 0, gilt es nicht, da egal was n ist multipliziert mit 0 nicht größer als 0 sein kann

Doch, gilt auch wegen "∪ {(0, 0)}".

Ansonsten stimmt das aber.

Können wir einfach k in (m,n) zu (m,n,k)

Dann ist das kein Paar mehr, sondern ein Tripel.

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Ah okay dann spielt das (0,0) Paar hier eine Rolle. Das heißt da es für alle mögliche m gilt und für n und k auch ist es bewiesen transitiv?

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Seien m,n,k ∈ ℤ mit (m,n) ∈ R und (n,k) ∈ R.

Begründe, dass dann auch (m,k) ∈ R ist.

Wenn du das begründet hast, dann hast du Transitivität bewiesen.

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m < 0, dann muss auch n < 0 sein

m = 0, gilt es nicht, da egal was n ist multipliziert mit 0 nicht größer als 0 sein kann

m > 0, dann muss n > sein


und dann für k:

wenn n < 0 muss auch k < 0 sein um n * k > 0 zu erfüllen und

wenn n > 0 muss auch k > 0 sein.

Ist es damit nicht begründet?

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Da ist noch der Fehler mit (0,0) drin. Außerdem müsste das noch mal vollständig aufgeschrieben werden. Dann passt das.

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Okay vielen dank! Ich hab das jetzt so aufgeschrieben:

R= {(m, n) ∈ Z × Z | m · n > 0} ∪ {(0, 0)}

Ist reflexif, denn:

ist m < 0 ist (-m) * (-m) > 0 => z.B m = -1 -> (-1) * (-1) > 0 => 1 > 0

ist m > 0 ist m * m > 0

ist m = 0 ist (m,m) => (0,0) trotzdem ein mögliches Paar, da {(0,0)} ∈ R ist

Ist symmetrisch, denn:

(m,n) ∈ R => m * n > 0 => n * m > 0 => (n,m) ∈ R

Ist transitiv, denn:

ist m > 0 muss n > 0 sein => m * n > 0 => gibt es ein k ∈ R | k > n

Wenn k > n gilt, gilt auch k > m

Darf man das so aufschreiben oder wie wäre die richtige Schreibweise?

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Ich habe die Aufgabe jetzt gelöst. Vielen dank! So langsam verstehe ich das Thema.

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ist m < 0 ist (-m) * (-m) > 0

Die Minuszeichen gehören da nicht hin. Bei

         R= {(m, n) ∈ Z × Z | m · n > 0} ∪ {(0, 0)}

steht ja auch kein Minuszeichen.

z.B m = -1

Das gehört nicht in einen Beweis.

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Ja ich habe das nochmals nachgelesen und geändert. Danke aber für den Hinweis !