Aus der Symmetrie und der Transitivität einer Relation ℜ folgt die Reflexivität von ℜ

Question

Ist die Aussage, dass aus der Symmetrie und Transitivität einer Relation ℜ die Reflexivität von ℜ folgt, eine wahre Aussage?

Gegenbeispiel: Seien die Menge M = {1,2} und die Relation ℜ = {(2,2)} gegeben

1. ℜ ist nicht reflexiv, da 1 ∈ M, aber (1,1) ∉ ℜ

2. ℜ ist symmetrisch und transitiv, da (2,2) und (2,2) ∈ ℜ ⇒ (2,2) ∈ ℜ

Damit ist die Ausgangsmenge M für Reflexivität zu berücksichtigen (1 ∈ M), aber offenbar für Symmetrie und Transitivität nicht. Für die Symmetrie z.B. ist die Relation an sich symmetrisch, aber ich müsste doch argumentieren können, dass (1,2) und (2,1) ∉ ℜ aber 1 und 2 ∈ M.

Muss ich es so verstehen, dass Reflexivität alle Elemente von M betrifft, Symmetrie und Transitivität lediglich Beziehungen dieser Elemente zueinander beschreiben?

Answer 1

Muss ich es so verstehen, dass Reflexivität alle Elemente von M betrifft,

Genau so ist es !

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Wenn ich die Definitionen für Reflexivität und Symmetrie vergleiche, so kann ich nicht erkennen wie man das Detail herausliest, dass bei Reflexivität alle a ∈ A in ℜ vorkommen müssen, bei Symmetrie jedoch nicht alle a,b ∈ A in ℜ vorkommen müssen.

Sei ℜ ⊂ A×A homogene Relation, dann heißt R..

..reflexiv, falls ∀ a ∈ A: (a,a) ∈ ℜ

..symmetrisch, falls ∀ a,b ∈ A: (a,b) ∈ ℜ ⇒ (b,a) ∈ ℜ

Die Definitionen muss ich demnach wie folgt übersetzen:

reflexiv: alle a ∈ A müssen in ℜ vorkommen und paarweise identisch sein

symmetrisch: wenn (a,b) ∈ A als Päärchen in ℜ auftritt, so muss auch (b,a) enthalten sein

Hat jemand noch Zeit / Lust mir das zu erläutern?