Global Verlauf der Funktion

Question

Hallo erstmal :),

ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Kontrolliere folgende Behauptungen zum Globalverlauf der Funktion f mit f(x)=x^3 +x

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x)= x^3+3 und g(x)= x^3.

- Je größer x wird, desto mehr nähert sich der Quotient f(x)/g(x) dem Wert 1 an.

Liebe Grüße

Comments

Du gibst verschiedene Terme für f(x) an. Absicht oder Tippfehler?

Answer 1

Aloha :)

1) Der Unterschied zwischen den Funktionen ist abhängig von \(x\), denn:$$f(x)-g(x)=(x^3+x)-x^3=x^3+x-x^3=x$$Der Unterschied zwischen den Funktionswerten wächst also mit \(x\) stetig an. Die Aussage ist also falsch.

2) Wir schauen uns den Quotienten genauer an:$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^3+x}{x^3}=\frac{x^3}{x^3}+\frac{x}{x^3}=1+\frac{1}{x^2}$$Tatsächlich wird mit wachsendem \(x\) der Summand \(\frac{1}{x^2}\) immer kleiner. Dadurch nähert sich der Quotient dem Wert \(1\) immer stärker an. Die Aussage ist also richtig.

Answer 2

Kontrolliere folgende Behauptungen zum Globalverlauf der Funktion f mit f(x) = x^3 + x

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x) = x^3 + 3 und g(x) = x^3.

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Comments

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x)= x^3 + 3 und g(x) = x^3.

f(x) - g(x) = x^3 + 3 - x^3 = 3 → falsch. die Funktionen haben stets eine Differenz von 3.

- Je größer x wird, desto mehr nähert sich der Quotient f(x)/g(x) dem Wert 1 an.

f(x)/g(x) = (x^3 + 3)/x^3 = 1 + 3/x^3 → richtig der Grenzwert ist 1 für x gegen unendlich.