Geben Sie für folgende komplexe Zahlen die normale Darstellung an

Question

Thema: Exponentialform komplexer Zahlen

Aufgabe 1: Geben Sie für folgende komplexe Zahlen die normale Darstellung (durch Real- und Imaginärteil) an:

a) \( 3 e^{i \frac{5 \pi}{6}} \)

b) \( -5 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} \)

c) \( 7 e^{i \pi} \)

Lösungen:

a) \( 3 e^{i \frac{5 \pi}{8}}-3 \cdot\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)-3 \cdot\left(-\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)--\frac{3}{2} \sqrt{3}+\frac{3}{2} i \)

b) \( -5 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}}=-5-\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-5 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}-i \sin \frac{\pi}{2}\right)=5 i \)

c) \( 7 e^{i \pi}-7 \cdot(\cos \pi+i \sin \pi)-7 \cdot(-1+0 i)--7 \)

Problem:

Ich verstehe bei Aufgabe 1a die letzten 2 Schritte nicht. Warum verschwindet der Zähler?

Answer 1

Nun, der Kosinus ist punktsymmetrisch zu π / 2 . Es gilt also:

cos ( ( π / 2 ) + x ) = - cos ( ( π / 2 ) - x )

Daher:

cos ( 5 π / 6 )

= cos ( ( 3 π / 6 ) + ( 2 π / 6 ) )

= - cos ( ( 3 π / 6 ) - ( 2 π / 6 ) )

= - cos ( π / 6 )

= - ( 1 / 2 ) * √ ( 3 )

 

Der Sinus ist achsensymmetrisch zu π / 2 . Es gilt also:

sin ( ( π / 2 ) + x ) = sin ( ( π / 2 )  - x )

Daher:

sin ( 5 π / 6 )

= sin ( ( 3 π / 6 ) + ( 2 π / 6 ) )

= sin ( ( 3 π / 6 ) - ( 2 π / 6 ) )

= sin ( π / 6 )

= 1 / 2

Answer 2

hi

der zähler verschwindet nicht, der sieht zum schluß bloß anders aus. oder meinst du vielleicht wo π, sinus und kosinus bleibt?

die eulersche formel kennst du bereits?
die geht so: e^{iφ} = (cos φ + i sin φ)
das ist jedenfalls der erste der letzen beiden schritte,
die umwadlung der komplexen zahl aus der exponentialform in
die kartesische form, wobei φ = i5π/6 ist.
das muss man einfach so hinnehmen und sich merken.
falls du wissen willst warum das so ist - "diese formel
lässt sich am einfachsten aus der maclaurinschen reihe herleiten,
indem man e^x durch iφ ersetzt", - frei zitiert nach lothar papula.
der beweis ist tatsächlich bloß ein dreizeiler.

so wird aus 3e^{5π/6} = 3(cos 5π/6 + i sin 5π/6)
um von 3(cos 5π/6 + i sin 5π/6) auf 3(-cos π/6 + i sin π/6) zu kommen,
muss man sich die periodizität der sinus- und kosinusfunktion angucken.
man kann erkennen: cos(φ) = -cos(π - φ) und sin(φ) = sin(π - φ)
daraus folgt,
cos(5π/6) = -cos(π - 5π/6) = -cos(6π/6 - 5π/6) = -cos(π/6)
und
sin(5π/6) = sin(π - 5π/6) = sin(6π/6 - 5π/6) = sin(π/6)
die autoren sind oft bestrebt die winkel so umzuformen, dass 'wichtige'
funktionswerte herauskommen. https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Wichtige_Funktionswerte
so kann man die werte besser verlgeichen und relativ elegant darstellen/aufschreiben.
so liest sich doch z.b. √3/2 viel angenehmer als 0,86602540378443864676372317075294....
lange rede kuzer sinn, um das mal zu ende zu führen, aus
3(cos 5π/6 + i sin 5π/6) wird aufgrund der periodizität wie oben gezeigt
3(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = 3(-cos π/6 + i sin π/6) = 3(-√3/2 + i 1/2) =
-3/2 √3 + 3/2 i

p.s.
dabei fehlt mir gerade auf ...
hmm.. brauche ich eine brille oder steht da in der aufgabenstellung e^{i 5π/4} ??!!
dann wäre die lösung der aufgabe falsch! :D
daher gehen wir lieber von e^{i 5π/6} aus, damit nicht alles für a... war.
:-)

lg
gorgar