Statistik: Chi-Quadrat-Aufgabe

Question

Aufgabe:

Behandlung mit anti cancer drug xy (=Verum, Testsubstanz) in einer Studie.

Verumgruppe: 44 Erwachsene - Metastasen (neue Tumoren) bei 12 Testpersonen

Placebogruppe: 45 Erwachsene - Metastasen bei 22 Testpersonen

Die Frage ist natürlich, ob das getestete Mittel als Arzneistoff signifikant wirksam ggü. einer Krebserkrankung ist. Die Aufgabenstellung besteht aus der Formulierung von Null- und Alternativhypothese, Erstellung entsprechender Tabellen für beobachtete und erwartete Häufigkeiten und Berechnung von Chi-Quadrat. (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%)

Problem/Ansatz:

Nullhypothese: Es wurde kein signifikanter Unterschied zwischen Verum und Placebo festgestellt; die Testsubstanz ist nicht ausreichend wirksam.

Alternativhypothese: Das Verum ist signifikant stärker wirksam als Placebo (einseitig formuliert, weil wenn eines der beiden stärker wirksam ist, dann die Teststubstanz).

Beobachtete Häufigkeit

	Metastasen	keine Metastasen	Summe
Verum	a	b
Placebo	c	d
Summe

	Metastase	keine Metastase	Summe
Verum	12	32	44
Placebo	22	23	45
Summe	34	55	89

Das sind beobachtete Daten - also empirisch würde ich sagen.

Kann ich mit

Chi² = (n*(ad-bc)²) / ((a+b)(a+c)(c+d)(b+d))

nun Chi² einfach berechnen?

Wie würde ich eine Tabelle mit den erwarteten Werten anlegen? Ich weiß ja nicht, was ich erwarten kann, da ich keine Normalverteilung unterstellen kann?

LG

Answer 1

Im Prinzip ist das so. Ich finde es aber übersichtlicher wenn man wie folgt rechnet.

$$  \chi^2 = \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \frac{ \left( n_{i,j} - e_{i,j} \right)^2 } { e_{i,j} } $$ wobei \( n_{i,j} \) die beobachteten Häufigkeiten (empirische) und \( e_{i,j} \) die erwarteten Häufigkeiten bei Unabhängigkeit der Merkmale sind.

\( e_{i,j} \) berechnet sich folgendermassen \( e_{i,j} = \frac{ n_{ i, \bullet }  \ \cdot \ n_{ \bullet, j } }{ n } \) wobei \( n_{ i, \bullet } \) und \( n_{ \bullet, j} \) die Randhäufigkeiten sind, also die Summen in den Zeilen bzw. Spalten der Kontingenztafel und \( n \) die Stichprobengröße ist.

Hier ergibt sich für das Beispiel $$  \begin{pmatrix} 16.809 & 27.191 \\ 17.191 & 27.809 \end{pmatrix} $$ Damit ergibt sich $$  \chi^2 = 4.403 $$ Der Vergleichswert bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von \( 5 \% \)  ist \( 3.481 \)

Damit muss die \( H_0 \) Hypothese abgelehnt werden und die Merkmale unterscheiden sich signifikant.

Deine Formel ist ein Spezialfall der hier angegebenen Formel.