2 Matrizen gegeben, Matrix 3 aus Gleichung bestimmen

Question

gegeben: Y= \( \begin{pmatrix} 2 & 1 &2 \\ 1 & 2&1 \\ 1&1&4 \end{pmatrix} \) und

A=  \( \begin{pmatrix} 1 & 0&1 \\ -1 & 1&0 \\ 0&1&-1 \end{pmatrix} \)

Bestimmen Sie Matrix X aus folgender Gleichung:

\( \begin{pmatrix} 4 & 2&0 \\ 3 & 2&2 \\ 1&4&3 \end{pmatrix} \) = A²  * X * Y + 3E

 mit E=Einheitsmatrix

Einfach das gegebene einsetzen und ausrechnen oder wie geht man hier ran? Hier wird es doch bestimmt den ein oder anderen Trick bei geben auf den ich sehr gespannt bin. Dank im Voraus :)

Answer 1

Einfach das gegebene einsetzen und ausrechnen

Ja. Y und A sind invertierbar, also

        \(X = A^{-2}\cdot\left(\begin{pmatrix}4&2&0\\3&2&2\\1&4&3\end{pmatrix}-3E\right)\cdot Y^{-1}\)

Comments

Wie kann ich einen Blick dafür entwickeln zu sehen, dass mir das was bringt Y und A zu invertieren? könnten Sie Ihre heransgehensweise noch etwas erläutern?

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Wie kann ich einen Blick dafür entwickeln zu sehen, dass mir das was bringt Y und A zu invertieren?

Auf der rechten Seite der Gleichung wird mit Y multipliziert.

Wäre Y eine Zahl, dann würde man deshalb im Laufe der Gleichungsumformungen irgendwann durch Y teilen.

Man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das gilt übrigens nicht nur für Brüche, sondern für alle Zahlen. Mit anderen Worten, aus jeder Division kann man eine Multiplikation machen.

Bei Matrizen heißt dieser Kehrwert inverse Matrix.

könnten Sie Ihre heransgehensweise noch etwas erläutern?

Gleichung lösen, so wie du es auch mit Zahlen machne würdest. Es gibt zwei Unterschiede.

1. Anstatt zu dividieren musst du mit der inversen Matrix multiplizieren.
2. Das Kommutativgesetz gilt für die Matrixmultiplikation nicht. Es macht also einen Unterschied, ob du eine Matrix von links oder von rechts an einen Term multiplizierst.
   

Answer 2

Aloha :)

$$\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}\right)^2}_{=A^2}\cdot X\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\1 & 1 & 4\end{array}\right)}_{=Y}+\underbrace{3\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)}_{=3\cdot E}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 0\\3 & 2 & 2\\1 & 4 & 3\end{array}\right)}_{=M}$$Wir bringen die 3-fache Einheitsmatrix \(3\cdot E\) auf die rechte Seite, indem wir von den Diagonalelementen der rechten Matrix \(3\) subtrahieren. Das Quadrat der ersten Matrix \(A^2\) rechnen wir aus:$$\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\-2 & 1 & -1\\0 & 1 & -1\end{array}\right)}_{=A^2}\cdot X\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\1 & 1 & 4\end{array}\right)}_{=Y}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 0\\3 & -1 & 2\\1 & 4 & 0\end{array}\right)}_{=M-3\cdot E}$$Wir multiplizieren von links mit der Inversen \((A^2)^{-1}\) . Dadurch fällt \(A^2\) ganz links weg:$$X\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}2 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\1 & 1 & 4\end{array}\right)}_{=Y}=\underbrace{\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1 & -1 & -1\\3 & 1 & 1\\1 & -1 & 3\end{array}\right)}_{=(A^2)^{-1}}\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 0\\3 & -1 & 2\\1 & 4 & 0\end{array}\right)}_{=M-3\cdot E}=\underbrace{\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}-3 & -1 & -2\\7 & 9 & 2\\1 & 15 & -2\end{array}\right)}_{(A^2)^{-1}(M-3\cdot E)}$$Schließlich multiplizieren wir von rechts die Inverse \(Y^{-1}\), wodurch die Matrix \(X\) schließlich alleine steht:$$X=\underbrace{\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}-3 & -1 & -2\\7 & 9 & 2\\1 & 15 & -2\end{array}\right)}_{(A^2)^{-1}(M-3\cdot E)}\cdot\underbrace{\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}7 & -2 & -3\\-3 & 6 & 0\\-1 & -1 & 3\end{array}\right)}_{=Y^{-1}}$$$$X=\frac{1}{36}\left(\begin{array}{r}-16 & 2 & 3\\20 & 38 & -15\\-36 & 90 & -9\end{array}\right)$$