Grenzwerte und Stetigkeit einer Funktion

Question

Gegeben sei die Funktion f : R → R mit

\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { für } & x<2 \\ x-1 & \text { für } & x \geq 2\end{array}\right. \)

(i) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x).

(ii) Welchen Funktionswert hat f(x) an der Stelle x = 2?

(iii) Wie lauten der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert $$\underset { x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ lim } f(x)\quad und\quad \underset { x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ lim } f(x)$$?

(iv) Existiert der Grenzwert $$\underset { x\rightarrow { 2 } }{ lim } f(x)$$?

(v) Ist die Funktion f(x) stetig (also stetig in R)? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Hallo robbei2210,

  für  x < 2 : f(x) = x . Dies ist eine Gerade mit Steigung = 1, Winkelhalbierende im 1.
und 3.Quadranten
  für x>= 2 : f(x) = x - 1 . Fast dasselbe bloß eins tiefer.

  i) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f(x). Ich hoffe du schaffst das.

(ii) Welchen Funktionswert hat f(x) an der Stelle x = 2? f(2) = 2 -1 = 1

  (iii) Wie lauten der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert
limx→2−f(x)undlimx→2+f(x)?
        Linksseitig = 2, rechtsseitig = 1

(iv) Existiert der Grenzwert  x -> 2limx→2f(x)?
       ??? Für x = 2 ist f(x) definiert und hat den Wert 1. Von einem Grenzwert würde
       ich dabei nicht sprechen ???

(v) Ist die Funktion f(x) stetig (also stetig in R)? Begründen Sie Ihre Antwort.
      Eine Funktion ist dann stetig wenn sie in einem Zug ( ohne abzusetzen )
      gezeichnet werden kann. Bei dieser Funktion geht das nicht.
      Mathematisch Stetigkeit : wenn der linksseitige Grenzwert gleich dem
      Funktionswert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist. Für x = 2 ist
      dies nicht gegeben.

  mfg Georg