Bei a) muss man die Axiome einer Metrik nachrechnen:
1. Positiv Definit: Da \( 0 \le |f(x) - g(x)| ~\forall x \in [a,b] \) gilt $$ 0 = \int_a^b 0 ~\textrm{d}x\le \int_a^b |f(x) - g(x)| ~\textrm{d}x = d(f,g) $$ wegen der Monotonie des Integrals.
Noch zz. \( d(f,g) = 0 \iff f=g \). Die Richtung \( \impliedby \) ist klar, für die andere:
Falls\( \int_a^b |f(x) - g(x)| ~\textrm{d}x = 0 \) muss wegen \( 0 \le |f(x) - g(x)| ~\forall x \in [a,b] \) schon \( |f(x) - g(x)| = 0 ~\forall x \in [a,b] \) gelten, also auch \( f(x) = g(x) ~\forall x \in [a,b] \) bzw. kurz \( f = g \).
2. Symmetrie: Es gilt \( |f(x) - g(x)| = |g(x) - f(x)| ~\forall x \in [a,b] \), also auch $$ d(f,g) = \int_a^b |f(x) - g(x)| ~\textrm{d}x = \int_a^b |g(x) - f(x)| ~\textrm{d}x = d(g,f) $$
3. Dreiecksungleichung: Seien \( f, g, h \in C([a,b]) \) dann gilt wegen der Dreiecksungleichung des Betrags:
$$ \begin{aligned} \forall x \in [a,b]: |f(x) - h(x)| &= |f(x) - g(x) + g(x) - h(x)| \\&\le |f(x) - g(x)| + |g(x) - h(x)| \end{aligned} $$
Wieder mit der Monotonie des Integrals folgt:
$$ \begin{aligned} d(f,h) &= \int_a^b |f(x) - h(x)| ~\textrm{d}x \le \int_a^b |f(x) - g(x)| + |g(x) - h(x)| ~\textrm{d}x \\ &= \int_a^b |f(x) - g(x)| ~\textrm{d}x + \int_a^b |g(x) - h(x)| ~\textrm{d}x \\ &= d(f,g) + d(g,h) \end{aligned} $$
Für b): Die Induzierte Topologie sieht so aus: $$ \mathcal{T} = \{ U \subseteq C ([a, b]) ~|~ \forall f \in U \exists \varepsilon > 0 : B_\varepsilon(f) \subseteq U \} $$
Um zu zeigen, dass U offen ist muss man also zeigen, dass für jede Funktion in U eine \( \varepsilon \)-Umgebung existiert, die komplett in U liegt.
Sei also \( f \in U \), dann gilt \( \int_a^b f ~\textrm{d}x > 1 \) etwa \( \int_a^b f ~\textrm{d}x = 1 + \varepsilon \) mit einem \( \varepsilon > 0 \). Wir zeigen nun \( B_\varepsilon(f) \subseteq U \). Sei hierfür \( g \in B_\varepsilon(f) \), dann gilt \( d(f,g) < \varepsilon \) bzw.
$$ \begin{aligned} \varepsilon &> d(f,g) = \int_a^b |f(x) - g(x)| ~\textrm{d}x \ge \int_a^b f(x) - g(x) ~\textrm{d}x \\&= \int_a^b f(x) ~\textrm{d}x - \int_a^b g(x) ~\textrm{d}x \\& = 1 + \varepsilon - \int_a^b g(x) ~\textrm{d}x\end{aligned} $$
Umstellen liefert \( \int_a^b g(x) ~\textrm{d}x > 1 \) also \( g \in U \) und somit \( B_\varepsilon(f) \subseteq U \).
