Nachweis einer Topologie anhand der offenen Mengen & Angabe eines metrischen Raumes und Systems offener Teilmengen

Question

Helloo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich Hilfe bräuchte :( Es wäre super lieb, wenn mir da jemand helfen könnte:)

a) Zeigen Sie, dass das System der "offenen" Mengen

τ = { U ⊂ X | ∀ x ∈ U ∃ ε > 0 s.d. B_ε (x) ⊂ U} 
tatsächlich eine Topologie definiert.

b) Geben Sie ein Beispiel für einen metrischen Raum X und ein System von offenen Teilmengen U₁ , U₂ , ... in X an, deren Schnitt nicht offen ist.

Comments

Warum steht das Wort "offen" in Anführungsstrichen? Was bedeutet das?

Answer 1

a) Rechne die Axiome einer Topologie nach:

1. \( \emptyset, X \in \mathcal{T} \):

Das ist eigentlich klar. Beachte, dass \( \forall x\in \emptyset ~\exists \varepsilon > 0 : B_\varepsilon(x) \subseteq \emptyset \) als "leere Allaussage" wahr ist.

2. Die Topologie ist abgeschlossen bzgl. beliebigen Vereinigungen:

Sei \( (U_i)_{i\in I} \) eine Familie von offenen Mengen in \(\mathcal{T} \). Dann ist auch \( \cup_{i\in I} U_i \in\mathcal{T}   \), denn:

Sei \( x \in \cup_{i\in I} U_i \), dann existiert ein \( j \in I \) mit \( x \in U_j \), da \( U_j \in\mathcal{T}   \) existiert ein \( \varepsilon > 0 \) mit \( B_\varepsilon(x) \subseteq U_j \subseteq \cup_{i\in I} U_i  \).

3. Die Topologie ist abgeschlossen bzgl. endlichen Schnitten:

Sei \( U_1,...,U_n \in\mathcal{T} \), dann ist auch \( \cap_{i=1}^n U_i \in\mathcal{T} \) denn:

Sei \( x \in \cap_{i=1}^n U_i \), dann \( x \in U_i \) für alle \(i =1,...,n \). Die \( U_i \) sind offen (also \( \in\mathcal{T} \)), es existieren also \( \varepsilon_i > 0 \) s.d. \( B_{\varepsilon_i}(x) \subseteq U_i \) für alle \( i=1,...,n\). Setze jetzt \( \varepsilon := \min\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\} > 0 \) (das geht da die Menge endlich ist!) dann gilt: $$ B_\varepsilon(x) \subseteq B_{\varepsilon_i}(x) \subseteq U_i, \quad \forall i =1,...,n$$ $$ \implies B_\varepsilon(x) \subseteq \bigcap_{i=1}^n U_i $$

b) Ein sehr einfacher metrischer Raum sind doch die reellen Zahlen mit der Standardmetrik.

Betrachten wir hier doch mal die offenen Intervalle \( U_n := \left( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \) für \( n \in \mathbb{N}\), dann ist der Schnitt \( \cap_{n \in \mathbb{N}} U_n = \{ 0 \} \) (nachrechnen!). Dieser ist aber sicherlich nicht offen.

Comments

Wie zeigt man \( X \in \tau \)?

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Es gilt per Definition immer

$$ B_\varepsilon(x) := \{ y \in X ~|~ d(x,y) < \varepsilon \} \subseteq X $$

ganz unabhängig von der Wahl von \( \varepsilon > 0 \). Man kann dieses also vollkommen beliebig wählen.

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Das klingt plausibel.

Answer 2

Ich gebe noch etwas Zusatzstoff für die b), er enthält eine relativ wichtige Topologie, die man kennen sollte und ist ansonsten auch ganz nett zu wissen. Ich werde beweisen, dass die Vermutung in der b) auf allgemeine topologische Räume verallgemeinerbar ist, bedeuetet: Ich gebe dir einen topologischen Raum (der kein metrischer Raum ist), in dem beliebige Schnitte von offenen Mengen nicht unbedingt offen sind. Vielleicht bringt's dir ja was und zeigt dir, was für ein breites Feld Topologie ist.

Das Gegenbeispiel lautet \(\mathbb{N}^{\text{cof}}\), das sind die natürlichen Zahlen mit der "Kofiniten Topologie". Die offenen Mengen von \(\mathbb{N}^{\text{cof}}\) sind \(\emptyset\) und jede Menge, deren Komplement endlich ist. Oder anders gesagt: Die geschlossenen Mengen sind alle endlichen Mengen und \(\mathbb{N}\). Dieser topologische Raum ist kein metrischer Raum (die kofinite Topologie gibt für unendliche Grundmengen generell nie einen Hausdorffraum, generell ist die kofinite Topologie die gröbste Topologie über der Grundmenge, die einen \(T_1\)-Raum liefert).

Die offenen Mengen, die wir jetzt betrachten sind ganz einfach, die sehen nämlich so aus: \(M_i = \mathbb{N}\setminus \{2,4,6,\ldots,2i\}\), also \(M_i\) besteht einfach nur aus \(\mathbb{N}\) ohne die ersten \(i\) geraden Zahlen (das sind natürlich tatsächlich offene Mengen). Der Schnitt \(\bigcap M_i\) ist einfach nur die Menge der ungeraden Zahlen, diese ist offensichtlich nicht offen.