Deutung des Differenzialquotienten df/dx

Question

Liebe Lounge, ich habe eine Frage zu den Ausdrücken df und dx.

Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle x₀ existiert, dann wird er ja mit dem Bruch \( \frac{df}{dx} \) bezeichnet.

Umgangssprachlich bedeutet der Differenzialquotient also nichts anderes, als die "minimale Änderung in y" resultierend aus der "minimalen Änderung in x".

Demnach müsste folgende Gleichung gelten:  \( \frac{df}{dx} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) (f(x₀ +h)-f(x₀))/h) = f'(x₀).

Jetzt zu meiner Frage:

Formt man diese Gleichung um zu: df=f'(x₀)•dx dann müsste diese Gleichung ja folgendes bedeuten: Man erhält minimale Änderungen der Funktionswerte, wenn ich die Steigung mit einer minimalen Änderung der x-Werte multipliziere.

Das ergibt für mich in sofern Sinn, dass wir sozusagen den Graphen soweit "reinzoomen", dass er an der Stelle x₀ linear aussieht.

Bezieht sich das Ganze jetzt aber tatsächlich auf den Graphen von f? Oder geht es bei der Gleichung df=f'(x₀)•dx um die Tangente? Sprich, ich erhalte Änderungen der Funktionswerte der Tangente wenn ich die Steigung der Tangenten mit der Änderung der x-Wert multipliziere. Das stimmt ja auch und zwar nicht nur für minimale Änderungen.

Ich hoffe, meine Frage wird klar und ihr könnt mir helfen!

Vielen Dank!

Answer 1

Deine Aussage

"Das ergibt für mich in sofern Sinn, dass wir sozusagen den Graphen soweit "reinzoomen", dass er an der Stelle x0 linear aussieht."

macht ja Sinn und bedeutet:  Der Graph und die Tangente sehen in diesem Fall gleich aus,

also ist es egal ob man Steigung der Tangente oder Steigung des Graphen nimmt.

Comments

Okay. Aber er sieht ja nur linear aus und ist es ja nicht wirklich ?

Zudem gibt es ja einen Unterschied darin, ob man für die Unterschiede in x nur minimale einsetzen darf oder (wenn es die Tangente ist) auch beliebig große Werte!?

Answer 2

f´(x)=m=dy/dx

dy=f´(x)*dx

m=Steigung an der Stelle x

Integral(y)=Integral(f´(x)*dx)

y=F(x)=Integral(f(x)*dx

Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

Das ist die Sekantensteigung durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y1)

Die Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte.

f´(xo)=m  ist die exakte Steigung an der Stelle x1=xo

wenn x2-x1 sehr klein x2-x1=0,01  oder noch kleiner,dann

dy/dx=f´(xo)≈(y2-y1)/0,01

Answer 3

Bezieht sich das Ganze jetzt aber tatsächlich auf den Graphen von f? Oder geht es bei der Gleichung df=f'(x0)•dx um die Tangente? Sprich, ich erhalte Änderungen der Funktionswerte der Tangente wenn ich die Steigung der Tangenten mit der Änderung der x-Wert multipliziere. Das stimmt ja auch und zwar nicht nur für minimale Änderungen.

Das bezieht sich natürlich eigentlich nur exakt für die Tangente. Allerdings auch näherungsweise für f bei minimalen Änderungen.

Z.B. sind K'(x) in der Betriebswirtschaft als Grenzkosten definiert. Die Grenzkosten geben in etwa an um wie viel die Kosten steigen, wenn man eine Mengeneinheit mehr produziert. Tatsächlich ist das nicht exakt richtig, denn eigenlich sollten das K(x +1) - K(x) sein.