Deutung einer Matrix als geometrische Abbildung

Question

Aufgabe:

Ich habe die Matrix:  \( \begin{pmatrix} \sqrt{6} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{6} \end{pmatrix} \). Was ist hierbei die Deutung für die von M vermittelte geometrische Abbildung als eine Hintereinanderausführung zweier zu benennender Abbildungen.

Problem/Ansatz:

Habe als Deutung eine Drehstreckung heraus, bin mir aber nicht ganz sicher, ob das stimmen kann

Answer 1

Die angegebene Matrix ist$$2\sqrt{2}\cdot \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rr}1/2&-\sqrt{3}/2\\\sqrt{3}/2&1/2\end{array}\right)$$

also eine Drehung um 60°, gefolgt von einer Spiegelung an y=x

und einer Streckung um \(2\sqrt{2}\).

Comments

Wie kommt man darauf ?

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Wie hast du den Drehwinkel berechnet ?

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Man zieht einen Faktor aus der Matrix, so dass ihre Spalten ein
Orthonormalsystem bilden, die Matrix also eine Bewegung,
Drehung oder Spiegelung darstellt. Da die Determinante
nach dieser Normierung = -1 ist, weiß man, dass es eine Spiegelung ist.
Da nicht klar ist, welche Spiegelungsachse zugrunde liegt,
wird zunächst eine Drehung durchgeführt, die sich dadurch anbietet,
dass die Zeilen bis auf ihre Reihenfolge bereits eine Drehmatrix liefern.$$\left(\begin{array}{rr}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{array}\right)$$

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Welchen Faktor hast du rausgezogen ?

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\(2\cdot \sqrt{2}\), das ist die Länge der Spaltenvektoren:
\(\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Answer 2

Ich könnte mir eine Streckung und Spiegelung vorstellen, S = Matrix gegeben

\(S' \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}k&0\\0&k\\\end{array}\right)\)

\(S'' \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}ca&sa\\sa&-ca\\\end{array}\right)\)

S'' S' = S

mit z.B.

\(S':=\left(\begin{array}{rr}\sqrt{6}&0\\0&\sqrt{6}\\\end{array}\right)\)

\(S'' \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&\frac{1}{3} \; \sqrt{3}\\\frac{1}{3} \; \sqrt{3}&-1\\\end{array}\right)\)