Matrizen als geometrische Abbildungen

Question

Aufgabe:

1/wurzel(2) * \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

1. hierbei soll ich das M^n für die Gleichung ermitteln.

2. Die durch die Ergenisse von M entstandene geometrische Abbildung ermitteln.

3. Die Matrix k= \( \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) als geometrische Abbildung deuten.

Answer 1

Berechne M², M³ und M^4.

Wenn dir das nicht genügt:

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (1|0). Wo liegt der Bildpunkt?

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (0|1). Wo liegt der Bildpunkt?

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (3|4). Wo liegt der Bildpunkt?

(Zeichne in ein Kosy jeweils Original- und Bildpunkt ein. Welchen Zusammenhang erkennst du?)

Comments

Welchen SInn hat es, M mit 3/4 zu multiplizieren (Frage aus reinem Interesse). M^1 bis M^4  habe ich berechnet :)

---

Du kannst statt (3|4) auch (375| -72) nehmen.

Es gibt nichts gutes - außer man tut es.

---

Das habe ich jetzt gemacht, jedoch kommt bei mir keine richtige Figur raus. Zudem weiß ich auch nicht, wie ich M^n berechnen kann.

---

M^4 ist die Einheitsmatrix!

Wenn du z.B. M^7 berechnen willst, nimmst du M^3 und multiplizierst es mit M^4.

Da M^4 die Einheitsmatrix ist, ist also M^7=M^3 * E = M^3.

jedoch kommt bei mir keine richtige Figur raus

Da muss doch auch keine Figur rauskommen. Du hast einen einzelnen Punkt. Sein Bild bewegt sich woanders hin. Wenn du das an drei Beispielen gemacht hast solltest du sehen, um welche Art von Bewegung es sich handelt.

Wenn du unbedingt eine Figur willst: Zeichne ein Dreieck mit den drei vorgeschlagenen Eckpunkten. Bilde aus den drei Bildpunkten ebenfalls ein Dreieck.

---

Okay. Dann ist mein M^n= M^7 * M^n ? Mir kommt das aber etwas fehlerhaft vor.

Zur Aufgabe mit der Konstruktion: Könntest du veilleich mal aufzeichnen, oder ein GeoGebra Link schicken und zeigen, wie das geht.

---

Okay. Dann ist mein Mn= M7 * Mn ?

Sorry, ich habe gerade einen Fehler bemerkt. nicht M^4, sondern M^8 ist die Einheitsmatrix.

Unfug. Multiplikation mit von einem beliebigen M^n mit M^8 liefert wieder M^n.

Die Werte von M^1 bis M^8 wiederholen sich periodisch.

Könntest du veilleich mal aufzeichnen, oder ein GeoGebra Link schicken und zeigen, wie das geht.

Das klingt so, als hättest du

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (1|0). Wo liegt der Bildpunkt?

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (0|1). Wo liegt der Bildpunkt?

Multipliziere M mit dem Ortsvektor vom Punkt (3|4). Wo liegt der Bildpunkt?

ignoriert und keinen der drei Bildpunkte selbst berechnet.

Dann hättest du nämlich längst bemerkt, dass es sich einfachg um eine 45°-Drehung um den Ursprung handelt. Wenn man die achtmal nacheinander ausführt, bekommt man den ursprünglichen Punkt wieder.

---

Habe mir das jetzt nochmal angeschaut. Habe es auch nochmal neu berechnet und jetzt erkenne ich es auch. Bei meiner letzten Aufgabe mit der Matrix K konnte ich dann feststellen, dass hier an der Y-Achse gespiegelt wird.

---

Echt? K ist doch einfach das 2*\( \sqrt{2} \) fache von M. Es wird also M ausgeführt und das Ergebnis davon mit 2*\( \sqrt{2} \) gestreckt.

---

Wie kommst du darauf, dass k das 2*\( \sqrt{2} \) von M ist?

---

Aus K kannst du den Faktor 2 ausklammern. Dann hast du K=\( 2\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).

M war nur

 \( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).

Was glaubst du wohl, womit man \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) multiplizieren muss, um "2" zu erhalten?

---

Ah, habe es jetzt verstanden. Danke dir (ergibt auch irgendwie Sinn)