Hallo, der Begriff Eigenwert und Eigenvektor hängen immer zusammen. Dieses Konzept kommt nur bei einer bestimmten Klasse von linearen Abbildungen vor, den Endomorphismen. Diese haben allgemein diese Grundform: \(f:\ V\to V\) linear und \(V\) Vektorraum. Dies ist ein Endomorphismus, da du Vektoren \(v\) aus \(V\) wieder in \(V\) abbildest.
Nun möchte man diese Endomorphismen genauer studieren. Bei jedem Endomorphismus \(f\) findet man nämlich Vektoren \(v\in V\setminus \{0_V\}\) mit der Eigenschaft \(f(v)=\lambda\cdot v\in V\) für ein \(\lambda \in \mathbb{K}\). Und so ein Vektor nennt man dann Eigenvektor \(v\) von \(f\) mit zugehörigem Eigenwert \(\lambda\).
Überträgst du das nun auf deine lineare Abbildung \(f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\), wirst du (hoffentich jetzt) feststellen, dass dein \(f\) kein Endomorphismus ist. Außerdem soll per Definition von Eigenvektor dein skalierter Eigenvektor im selben Vektorerraum landen, aus dem es gekommen ist. Das geht hier aber schlecht, denn für ein \(x\in \mathbb{R}^4\) (egal ob Eigenvektor oder nicht) ist \(f(x)=\alpha\cdot x\in \mathbb{R}^3\) nicht möglich. Selbstwenn du \(\alpha=0\) wählst, hast du ja immernoch den Nullvektor in \(\mathbb{R}^3\).
