Gleichheit von zwei Winkel zeigen

Question

Servus!

Ich möchte beweisen, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren \(\vec{F_1r}\) und \(\vec{F_2r}\) vom Vektor \(\vec{n}\) halbiert wird. 

Gegeben ist:

\(\vec{F_1r}=\vec{r}-\vec{F_1}\)

\(\vec{F_1r}=\vec{r}-\vec{F_1}=\vec{r}+\vec{F_2}\) da \(\vec{F_1}=-\vec{F_2}\)

Der Winkel zwischen \(\vec{F_1r}\) und \(\vec{n}\) und der Winkel zwischen \(\vec{F_1r}\) und \(\vec{n}\) muss folglich gleich sein. Das bedeutet wir müssen zeigen, dass

\(\frac{\vec{F_1r}\cdot\vec{n}}{|\vec{F_1r}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{\vec{F_2r}\cdot\vec{n}}{|\vec{F_2r}|\cdot|\vec{n}|}\)

mit Einsetzen erhalte ich

\(\frac{(\vec{r}-\vec{F_1})\cdot\vec{n}}{|\vec{r}-\vec{F_1}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{(\vec{r}+\vec{F_1})\cdot\vec{n}}{|\vec{r}+\vec{F_1}|\cdot|\vec{n}|}\)

Jetzt scheitert es bei mir daran zu zeigen, dass diese Gleichung so stimmt. Kann mir da jemand helfen?

Das ganze ist Teil einer Aufgabe zu elliptischen Spiegeln, bei dem \(\vec{F_1}\) und \(\vec{F_2}\) die Brennpunkte sind

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!

Comments

Der Winkel zwischen F1r→ und n⃗  und der Winkel zwischen F1r→ und n⃗  muss folglich gleich sein.

Langt das ?

Der Vektor n sollte auch in der Ebene der anderen beiden Vektoren liegen oder?

Das geht einfacher. Hast du die Vektoren um die das geht zur Hand?

Wenn der Vektor n den Winkel zwischen den Vektoren a und b halbiert dann gilt

n = r * (a/|a| + b/|b|)

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Hier geht es um 2 dimensionale Vektoren. Die Aufgabe war zu zeigen, dass in einer Ellipse der Winkel zwischen zwei Linien zu den Brennpunkten immer vom Normalvektor der Oberfläche halbiert wird.

Uns fehlt wirklich nurnoch der letzte Rechenschritt.

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Hallo

 irgendwie hast du ja n gar nicht beschrieben, bzw. du hast gar nirgends benutzt dass das eine Ellipse ist, auch ist n in deiner Rechnung durch nichts gekennzeichnet? so wie du rechnest kann das ja ein beliebiger Vektor sein, woran merkt man, dass er senkrecht zur Ellipse ist?

lul

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Es steht drin, dass es sich bei F1 und F2 um Brennpunkte einer Ellipse handelt und n Teilt tazächlich den Winkel der beiden Linien. Die vielen Berechnungen davor erspare ich euch. Es geht mir wirklich nur um die Gleichung die ich angeführt habe und darum zu zeigen, dass diese Winkel dadurch gleich sind.

LG

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Hallo

 da in deinen Gleichungen keine Eigenschaft von n bzw. der Ellipse vorkommt ausser F2=-F1 kannst du mit den Gleichungen wirklich nichts beweisen. Du kannst dagegen aus der Gleichung der Ellipse bz Summe der Abstände von F1 und f2= const (=2a)

zeigen, dass die äussere Wh der Brennstrahlen  Tangente ist, weil der Abstand zu jedem Punkt auf ihr größer 2a ist. damit ist dann die Normale Wh des Innenwinkels.

Gruß lul

Answer 1

Hallo,

Die Richtigkeit Deiner Gleichung kannst Du zeigen, wenn Du voraussetzt, dass \(r\) ein Punkt auf der Ellipse und \(\vec n\) der Normalenvektor in diesem Punkt ist. Das hast Du aber in keiner Weise getan, folglich kannst Du das allein aus dieser Gleichung auch nicht zeigen. Dass \(\vec{F_1} = -\vec{F_2}\) ist, ist nur dann relevant, wenn man darüber einen Bezug zu \(\vec n\) z.B. aus der Ableitung der Ellipsengleichung aufstellen kann - rein vektoriell betrachtet ist es irrelevant, da \(F_1\) und \(F_2\) irgendwo in der Ebene liegen können.

Nutze die Eigenschaften einer Ellipse, deren große Halbachse \(a\) ist:

aus diesen kannst Du bestimmte Bedingungen ableiten. Die Summe der beiden Abstände von \(R\) zu den Brennpunkten ist immer \(2a\) - also$$|\vec{F_1R}| = 2at, \quad |\vec{F_2R}|=2a(1-t), \quad t \in (0;1)$$Jetzt musst Du noch \(\vec n\) mit den Brennpunkten und \(\vec R\) in Beziehung setzen. Das mache ich über den Punkt \(\vec{R'}\). Nach obiger Skizze ist$$  \vec{F_1R} = t \vec{F_1R'} \\ \vec M = \frac 12 (\vec{F_2} + \vec{R'}) \\ \vec{RM} \cdot \vec{F_2R'} = 0$$Daraus folgt dann auch gleich, dass Dein \(\vec n\)$$\vec n = \vec{F_2R'}$$ist. Und nun zeige, dass $$\vec n \cdot \frac{\vec{F_1R}}{|\vec{F_1R}|} = \vec n \cdot \frac{\vec{F_2R}}{|\vec{F_2R}|} $$Ich würde durch Einsetzen zunächst \(\vec R\) und \(\vec M\) aus den Gleichungen entfernen.

Versuche es mal

Gruß Werner

Comments

das ist schon mal sehr hilfreich. gegeben war ursprünglich nur die Ellipse mit \(\begin{pmatrix} a \cdot cos(φ) \\ b \cdot sin(φ) \end{pmatrix}\).

\(\vec{r}\) ist dabei in der Tat der Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ellipse. Vorherige Rechenwege, die zum Normalenvektor und zum Tangentenvektor geführt haben, habe ich nicht reingestellt. Zusatzaufgabe war eben nur zu zeigen, dass der Normalenvektor jenen Winkel mittig schneidet. Mir ist es rein um das Umformen von der Gleichung in der Letzten Zeile gegangen, da ich einfach nicht auf die finale Lösung kam.

Ich würde durch Einsetzen zunächst R und M aus den Gleichungen entfernen.

Es geht mir also um genau diesen Schritt.

Trotzdem ein großes Danke für die ausführliche Antwort :)

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Hier meine Niederschrift. Der extrem lange Inhalt vom cosinus kann wohl kauf für so eine kleine Teilaufgabe gefordert sein. darum dachte ich, man könne die letzte Zeile auch alleine umformen.