Echte Dreiecksmatrix nilpotent (Induktion)

Question

ich sitze gerade am Beweis, dass echte obere Dreiecksmatrizen nilpotent sind. D.h dass Aⁿ = 0 für n∈ℕ. Beweisen kann man dies ja z.B mit vollständiger Induktion.

Induktionsanfang: 2x2-Matrix,

man definiere eine Matrix C =

0	*
0	0

Bildet man nun C² dann sieht man leicht, dass es die 2x2- Nullmatrix ergibt. Damit ist der Induktionsanfang gezeigt.

Induktionsschritt: n->n+1

Aⁿ⁺¹ = Aⁿ A = 0 A = 0, weil Aⁿ nach Voraussetzung null ist.

Aber irgendwie bin ich mit dem Beweis nicht ganz zufrieden. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Mit freundlichen Grüßen

Comments

Alternativ könntest du auch mit dem charakteristischen Polynom und dem Satz von Cayley-Hamilton argumentieren.

Answer 1

Aloha :)

Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn eine(!) ihrer Potenzen die Nullmatrix gibt:$$A^n=0\quad\text{für ein }n\in\mathbb{N}$$Es ist gar nicht gefordert, dass das für fast alle \(n\) gelten muss. Da die Multiplikation einer quadratischen Matrix mit der Nullmatrix wieder die Nullmatrix ergibt, gilt für jede Potenz \(m>n\):$$A^m=A^{m-n}\cdot A^n=A^{m-n}\cdot0=0\quad;\quad(m>n)$$Hier gilt nun:$$\left(\begin{array}{c}0 & a\\0 & 0\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\left(\begin{array}{c}0 & a\\0 & 0\end{array}\right)\text{ ist nilpotent mit Nilpotenzgrad }2$$

Comments

Das ist keine Gruppe.

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Stimmt, die regulären quadratischen Matrizen waren die mit der Gruppe. Danke für den Hinweis! Ich korrigiere meine Antwort.