Multiplikation von Folgen soll die Bedingungen unten erfüllen

Question

Ich hab also 2 Folgen an und bn gegeben, Der Grenzwert von an soll 0 sein und der von bn unendlich. Nun soll limes {an*bn} ein mal so gewählt sein, dass man unbeschränkt und divergent hat und ein mal beschränkt und divergent. Also an und bn müssen so gewählt sein, dass die vorgegebenen Grenzwerte jeweils passen und dass bei der Multiplikation der beiden die 2 Fälle erfüllt sind. Ich bin dankbar über jegliche Hilfe

i) zum Fall unbeschränkt und divergent hätte ich mir diese Folge überlegt  \( \frac{n}{\sqrt{n}+(-1)^{n}} \)  ? (Natürlich ist dann {an}der Nenner und {bn} der Zähler )? Würde das so passen ? Wobei ich gerade merke, dass ich den Part mit der -1 weglassen könnte oder?

ii) zum Fall beschränkt und divergent habe ich leider keine Ahnung und wäre sehr dankbar über jegliche Hilfe. Ich weiß, dass zum Bsp (-1)^{n} divergent und beschränkt ist, aber wie verpacke ich das in 2 Folgen an und bn, die die Bedingungen erfüllen ?

Answer 1

a) Wähle \(a_n = \frac{1}{n}\to 0\), \(b_n = n^2\to \infty\), es gilt \(a_n\cdot b_n = n \to \infty\).

b) Wähle \(a_n=\frac{1}{n}\to 0\), \(b_n = (2+(-1)^n)\cdot n \to\infty\) (die Folgenglieder wechseln sich also zwischen \(n\) und \(3n\) ab, jenachdem, ob \(n\) gerade oder ungerade ist). Dann ist \(a_n\cdot b_n = (2+(-1)^n)\) eine oszillierende Folge, also beschränkt aber divergent.

Comments

Zu a) Deine Lösung ist natürlich einfacher und schlauer, aber wenn ich keinen Denkfehler habe sollte meine Lösung auch passen glaub ich. Aber auf deine hätte ich eigentlich von selbst kommen müssen, aber naja

zu b) oh man ich hatte die Folge fast, aber ich bin nicht auf das +2 gekommen. Sehr schlau und geschickt von dir

Dankeschön, dass du bei Licht ins Dunkle gebracht hast

Mfg

---

Ja, deine Lösung ist auch korrekt. Hauptsache, \(a_n\) konvergiert langsamer gegen \(0\) als \(b_n\) divergiert. Ich versuche die Folgen immer möglichst einfach zu halten, dann sind nachher auch die Beweise einfacher.

---

zu b)

Die Funktion oszilliert dann aber wenn an*bn macht gegen 1 und 3 und nicht gegen n und 3n oder nicht ? Das hat mir gestern noch zu denken gegeben 

---

Genau! Zwischen \(n\) und \(3n\) wäre ja auch keine wirkliche Oszillation, weil die Folge dann nicht periodisch wäre.