Sandwich Kriterium bei Folgen anwenden?

Question

Es seien a,b,c ∈ R mit   0 ≤ a ≤ b ≤ c . Jetzt soll man folgende Folge : x_{n : \( \sqrt[n]{a^{n}+b^{n} + c^{n} } \)}    auf Konvergenz untersuchen und gegebenfalls den Grenzwert bestimmen.

Das normale Vorgehen ist mir absolut bekannt, wenn s um Grenzwertbestimmung geht, aber ich komme auf diese Folge nicht klar und weiß erst recht nicht wie ich das "Sandwich-Kriterium" anwenden soll. Dieses besagt ja, dass man 2 andere Folgen finden soll, die den gleichen Grenzwert haben und die angegebene Folge einschließen/eingrenzen oder? Aber wie würden solche Folgen aussehen ?  Kann mir bitte wer inputs geben. Wäre sehr lieb, weil ich den ganzen Tag schon dran sitze und nicht schlauer draus werde

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(0\le a\le b\le c\), daher gilt:$$\sqrt[n]{a^n+a^n+a^n}\le\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le\sqrt[n]{c^n+c^n+c^n}$$$$\sqrt[n]{3}\,a\le\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le\sqrt[n]{3}\,c$$Wegen \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=1\) gilt also:$$a\le\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le c$$

Comments

Okay ich hatte nen sehr dummen Denkfehler. Kein Wunder hab ich es nicht hinbekommen -.- Ich war zu dumm für diese Abschätzung. Dachte, dass ich 2 neue Funktionen finden muss, die die gegebene einschließt, aber so macht das ganze natürlich mehr Sinn wie du es gemacht hast. Ich bedanke mich herzlichst (: