Aloha :)
Gegeben: Matrix \(A\) mit \(A=A^T\) (symmetrisch), EV \(u_i\) und EW \(\lambda_i\), d.h. \(Au_i=\lambda_iu_i\).
$$\text{a)}\quad(A+aE)u_i=Au_i+aEu_i=\lambda_iu_i+au_i=(\lambda_i+a)u_i$$Die EW von \((A+aE)\) sind \((\lambda_i+a)\), die EV sind \(u_i\).
$$\text{b)}\quad(A^TA)u_i=AAu_i=A\lambda_iu_i=\lambda_iAu_i=\lambda_i^2u_i$$Die EW von \((A^TA)\) sind \(\lambda_i^2\), die EV sind \(u_i\).
$$\text{c)}\quad(AA^T)u_i=AAu_i=\cdots\quad\text{siehe b)}$$
Bei d) formen wir die Eigenwert-Gleichung wie folgt um:$$\left.Au_i=\lambda_iu_i\quad\right|\;A^{-1}\text{ von links multiplizieren}$$$$\left.A^{-1}Au_i=\lambda_iA^{-1}u_i\quad\right|\;A^{-1}A=E$$$$\left.u_i=\lambda_iA^{-1}u_i\quad\right|\;:\lambda_i$$$$\left.\frac{1}{\lambda_i}u_i=A^{-1}u_i\quad\right.$$Die EW von \(A^{-1}\) sind \(\frac{1}{\lambda_i}\), die EV sind \(u_i\).
