(a, b) = (a' , b') ⇔ a = a' und b = b'

Question

Es geht um folgende Aufgabe:

Seien A und B Mengen mit a ∈ A, b ∈ B. Ein geordnetes Paar (a, b) kann man als die Teilmenge
{{a}, {a, b}} ⊆ P(A ∪ B) (Potenzmenge)
definieren. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
Fur a, a' ∈ A und b, b' ∈ B gilt
(a, b) = (a', b') ⇔ a = a' und b = b'

Das erscheint mir irgendwie trivial, da ja ein Tupel genau dann gleich ist, wenn die Länge gleich ist und die Paare übereinstimmen.

Wollte nur einmal fragen, ob die Hin-Richtung so in Ordnung wäre oder ob es der falsche Weg ist. Bitte keine Lösung hier reinschreiben, wollte mich nur erkundigen ob es ein legitimer Weg ist.

⇒:

(a, b) = (a', b') ⇔ {{a}, {a, b}} = {{a'}, {a', b'}}

Also:

(i) {a} = {a'}, und damit a = a'

(ii) {a, b} = {a', b'}, mit a = a'

      {a', b} = {a', b'} und damit b = b'

Danke.

Answer 1

{a} = {a'}, und damit a = a'

Woher weißt du, dass {a} = {a'} gilt?

{a, b} = {a', b'}, mit a = a'

Woher weißt du, dass {a, b} = {a', b'} gilt?

Ein geordnetes Paar (a, b) kann man als die Teilmenge {{a}, {a, b}} ⊆ P(A ∪ B) (Potenzmenge) definieren.

In der Mathematik hat sich irgendwie der Gedanke festgesetzt, alles auf die Mengenlehre aufzubauen.

In der Mengenlehre gibt es

• Mengen
• die Beziehung ∈ (ist Element von) zwischen Mengen
• Regeln wie sich Mengen verhalten.
  

Das erscheint mir irgendwie trivial, da ja ein Tupel genau dann gleich ist, wenn die Länge gleich ist und die Paare übereinstimmen.

Jetzt haben wir plötzlich ein viertes Konzept

• Tupel

Es stellt sich die Frage, ob das wirklich ein fundamental neues Konzept ist, oder ob man es mithilfe von Mengen und der Elementbeziehung formulieren kann. Deine Aufgabe ist, zu zeigen, dass man Paare mithilfe von Mengen und der Elementbeziehung formulieren kann. Dabei ist "ein Tupel genau dann gleich ist, wenn die Länge gleich ist und die Paare übereinstimmen." nicht der Ausgangspunkt der Argumentation, sondern das Ziel.

Sei dazu

        {{a}, {a, b}} = {{a'}, {a, b}}.

Warum ist dann {a} = {a'}? Warum ist nicht {a} = {a', b'}?

Comments

Danke.

Gut, also darf man die Zuordnung {a} = {a'} nicht als gegeben ansehen denn es könnte auch {a} = {a', b'} gelten.

Wenn ich nun das Problem der Zuordnung löse,  und wir danach sagen können, dass {a} = {a'} gilt, könnte man dann so weitermachen wie bereits am Anfang beschrieben oder ist das generell eine Sackgasse ?

Danke erneut.

---

⇒:

(a, b) = (a', b') ⇔ {{a}, {a, b}} = {{a'}, {a', b'}}

Angenommen es gilt {a} = {a', b'}, dann muss, wegen der unterschiedlichen Kardinalität der Mengen, a' = b' gelten. Da jedoch {{a'}, {a', b'}} ⊆ P(A∪B) und a' ∈ A und b' ∈ B, existieren per Definition keine doppelten Elemente in A ∪ B und somit auch {a', b'} ∉ P(A ∪ B), mit a' = b'.

Also:

(i) {a} = {a'}, und damit a = a'

(ii) {a, b} = {a', b'}, mit a = a'

      {a', b} = {a', b'} und damit b = b'

Das war jetzt meine Idee, ob das jetzt genügt, weiß ich leider nicht.