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Wie berechne ich den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks:

A=1/2 (x-1) (2-x^3+3x^2)

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An der Korrektheit der Gleichung sollte gezweifelt werden.

Hallo,

Wie ist das mit dem Dreieck gemeint?

~plot~ 2-x^3+3x^2;[[-2|4|-2|7]];(x>1)*(5.125(x-1)/1.5)*(x<2.5) ~plot~

Soll die Fläche des roten Dreiecks oben in Abhängigkeit von \(x\) maximiert werden? Im Plot ist \(x\) mit \(x=2,5\) eingezeichnet.

ja genau!

ich weiß, dass ich die erste Ableitung brauche und kann auch die Rechnungen erstellen.

Aber wie kann ich dann x ausrechnen?

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Wenn das alles seine Richtigkeit hat:

A = 1/2·(x - 1)·(2 - x^3 + 3·x^2) = - 0.5·x^4 + 2·x^3 - 1.5·x^2 + x - 1

A' = - 2·x^3 + 6·x^2 - 3·x + 1 = 0 --> x = 2.476

A(2.476) = 3.847 FE

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Vielen Dank! Erste Ableitung ist klar, nur dann komm ich nicht weiter! Muss ich das x über Polynomdivision ausrechnen oder geht das noch anders?

Da hilft leider nur ein Näherungsverfahren.

~plot~ -2x^3+6x^2-3x+1;[[0|3|0|4]] ~plot~

Wenn ihr dürft auch das Newtonverfahren über den Taschenrechner.

Okay, das hatten wir glaub ich noch nicht...aber danke!

Überlege dir was der Definitionsbereich von x ungefähr ist. Das kannst du dir an der Zeichnung überlegen.

Mache dann eine Vermutung welches x den größten Flächeninhalt gibt.

Mache dann eine Wertetabelle von A' im Definitionsbereich und suche dort nach der Nullstelle.

[1, 2;
2, 3;
3, -8
]

Wir vermuten eine Nullstelle im Intervall [2 ; 3] und machen eine genauere Wertetabelle

[2, 3;
2.1, 2.638;
2.2, 2.144;
2.3, 1.506;
2.4, 0.712;
2.5, -0.25;
2.6, -1.392;
2.7, -2.726;
2.8, -4.264;
2.9, -6.018;
3, -8]

Wir erwarten die Nullstelle also im Intervall [2.4 ; 2.5] und machen auch hier eine genauere Wertetabelle.

[2.4, 0.712;
2.41, 0.6235580000;
2.42, 0.533424;
2.43, 0.4415860001;
2.44, 0.348032;
2.45, 0.25275;
2.46, 0.155728;
2.47, 0.05695399993;
2.48, -0.043584;
2.49, -0.1458979999;
2.5, -0.25]

Das kannst du jetzt so lange fortführen bis dir die Genauigkeit langt. Man könnte hier also abbrechen und die Nullstelle mit ca. 2,48 angeben.

Wow! Vielen vielen Dank!!!

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