Folgende Summe berechnen

Question

\( \sum \limits_{k=3}^{n}\left(3 k-2^{(k-3)}-9\right) \)

Kann mir jmd. Zeigen bzw. wie man die folgende Summe berechnet?

Vielen Dank schonmal Im  voraus!

Answer 1

Aloha :)$$S=\sum\limits_{k=3}^n\left(3k-2^{k-3}-9\right)=\sum\limits_{k=0}^{n-3}\left(3(k+3)-2^{(k+3)-3}-9\right)$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{k=0}^{n-3}\left(3k+9-2^k-9\right)=\sum\limits_{k=0}^{n-3}\left(3k-2^k\right)=3\sum\limits_{k=0}^{n-3}k-\sum\limits_{k=0}^{n-3}2^k$$Die erste Summe  solltest du kennen (der kleine Gauß), die zweite Summe ist eine geometrische Reihe:$$S=3\cdot\frac{(n-3)^2+(n-3)}{2}-\frac{2^{n-2}-1}{2-1}=3\cdot\frac{(n-3)(n-3+1)}{2}-(2^{n-2}-1)$$$$S=\frac{3}{2}(n-3)(n-2)-2^{n-2}+1$$