Folge konvergent, dann auch Reihe^2 konvergent?

Question

Sei (a n) eine Folge echt positiver reeller Zahlen, so dass die Reihe SUM (a n) konvergiert. Konvergieren dann auch die Reihen:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a^2 } \)  und \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{1/a } \) ?

Hierbei hab fehlt mir vor allem bei erstem ein Ansatz/ Lösung. Hast du spontan eine Idee?

LG!

Answer 1

Sobald 0<a<1 ist, gilt a²<a. Das sollte deine Frage beantworten.

PS: Du hast in deiner Aufgabenformulierung jeweils den Index n vergessen.

Comments

Okay danke dir! Ich hab mir folgendes dazu überlegt: a_n ist eine geometrische Reihe welche konvergiert, sodass -1 < 0 < 1 erfüllt ist.

a^2_n ist auch eine geometrische Reihe, welche ebenfalls konvergiert, wenn -1 < 0 < 1 erfüllt ist, aufgrund des quadrierens kommt man zu deinem Tipp: 0<a<1.  

Nun gilt also a^2 < a.  Aber ganz zur Lösung komme ich nicht. Ich habe das Gefühl dass man mit dem Majorantenkriterium weiter kommen könnte, weiß aber nicht wie..

Answer 2

Hallo

a) nimm das Quotientenkriterium , a_n+1/a_n<1

b) da a_n eine Nullfolge ist 1/:n keine also garantiert Divergenz .

Gruß lul

Comments

Es tut mir Leid, aber ich komm nicht drauf wie mir das Quotientenkriterium weiterhelfen soll.

a^2 konvergiert <=> lim | \( \frac{a^2 n+1}{a^2 n} \) | < 1 und dann? :/

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Hallo

 wenn lim a_n+1/a_n<1 und das nach Vors  gilt dasselbe für das Quadrat-

Gruß lul

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Was meinst du mit "Vors"?