Aloha :)
$$f(x)=-2x^3+2x^2+8x-8=-2(x^3-x^2-4x+4)$$Alle Teiler von der Zahl ohne \(x\), hier also der \(4\), sind die möglichen ganzzahligen Nullstellen. Wir setzen daher \(\pm1,\pm2\,\pm4\) für \(x\) ein und schauen, ob wir eine Nullstelle "erraten". Und siehe da, bei \(-2\), bei \(2\) und bei \(1\) finden wir Nullstellen. Da ein Polynom 3-ten Grades höchstens 3 Nullstellen haben kann, sind wir fertig:$$f(x)=-2(x+2)(x-1)(x-2)\quad\Rightarrow\quad\text{Nullstellen: }x_1=-2\;;\;x_2=1\;;\;x_3=2$$Die nächste Funktion ist etwas unangenehmer:$$f(x)=12x^3-6x^2-16x+2$$Die Teiler von \(2\) sind \(\pm1,\pm2\). Ausprbobieren liefert uns eine Nullstelle bei \(x_1=-1\). Daher muss der Faktor \((x+1)\) in dem Polynom enthalten sein. Polynomdivision liefert:
___ 12 ___
| ___ -6 ___ | ____ -16 ____ | ___ 2 ___
|
\(\downarrow\)
| \(12\cdot(-1)\)
\(=-12\)
| \(-18\cdot(-1)\)
\(=18\)
| \(2\cdot(-1)\)
\(=-2\)
|
12
| -18
| 2
| 0
|
$$f(x)=(x+1)(12x^2-18x+2)=(x+1)\cdot12\cdot\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{6}\right)$$Die Nullstellen der Parabel in der Klammer kriegen wir mit der pq-Formel raus:$$x_{2,3}=\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}-\frac{1}{6}}=\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{19}{48}}$$Damit haben wir insgesamt 3 Nullstellen gefunden:$$x_1=-1\;\;;\;\;x_2=\frac{3}{4}-\sqrt{\frac{19}{48}}\;\;;\;\;x_3=\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{19}{48}}$$
