Extrempunkte bei Wendestellen?

Question

Ich habe eine Frage zum Thema Wendestellen und Extrempunkte:

Die Definition einer Wendestelle ist ja, dass sich das Krümmungsverhalten der Funktion an dem Wendepunkt verändert.

Ich frage mich nun, ob bei Wendestellen (außer bei Terassenpunkten) dann nicht auch zusätzlich zwei (lokale) Extremstellen vorhanden sind: Einmal ein lokales Minimum bzw. Maximum vor dem Wendepunkt und ein lokales Maximum bzw. Minimum nach dem Wendepunkt.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Die Aufteilung der Funktion in " vor dem Wendepunkt" und "nach dem Wendepunkt" ist von dir willkürlich eingeführt worden. Nach diesem Willkürakt hast du natürlich recht.

Comments

Heißt das, ich kann diese beiden Punkte als lokale Minima und Maxima beschreiben?

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Nein, diese willkürliche Aufteilung hast du dir ausgedacht und ist nicht üblich.

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Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich bin dennoch etwas verwirrt.

Ich habe gerade bei der Funktion 1/3x^3 - 2x^2 + 3x die Extremstellen mit dem notwendigen und den hinreichenden Kriterien berechnet und habe problemlos zwei Extremstellen berechnen können: Ein lokales Minimum und ein lokales Maximum.

Damit müsste diese Funktion an diesen Stellen ja zwei Extrema haben?!

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Bei der Funktion f(x)=1/3x³ - 2x² + 3x liegen die Extrema bei x_E1=1 und x_E2=3 und der Wendepunkt bei x_W=2.    

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Genau. Das hieße aber dann, dass meine Theorie richtig ist?

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Deine Theorie lautete: "Einmal ein lokales Minimum bzw. Maximum vor dem Wendepunkt und ein lokales Maximum bzw. Minimum nach dem Wendepunkt."

Und das habe ich als willkürlich und unüblich bezeichnet.

Answer 2

Du musst nur schauen ob die notwendigen Bedingungen erstmal gegeben ist und anschließend überprüfe dies mit der hinreichenden Bedingung.

Extrema:

not. Beding. : f´(x0) = 0

hinr. Beding. : f´´(x0) ≠ 0

f´´(x) < 0 -> Hochpunkt

f´´(x) >  0 -> Tiefpunkt

Wendepunkt:

not. Beding. f´´(x0) = 0

hinr. Beding. : f´´´´(x0) ≠ 0
f´´´(x) < 0 -> Links- Rechts - Krümmung
f´´´(x) >  0 -> Recht - Links - Krümmung 

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort! Das habe ich bei einer Beispielsfunktion, die eine Wendestelle hat, auch gemacht und habe tatsächlich zwei Extrema an diesen Stellen finden können.

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Kannst du mir deine Funktion einmal geben bitte

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Natürlich. Meine Funktion lautet f(x) = 1/3x^3 - 2x^2 + 3x.

Answer 3

Ich frage mich nun, ob bei Wendestellen (außer bei Terassenpunkten) dann nicht auch zusätzlich zwei (lokale) Extremstellen vorhanden sind:

Diese Hypothese kann mit einem Gegenbeispiel widerlegt werden.

Die Funktion f(x)=x³+x hat zwar einen Wendepunkt (0|f(0)), der KEIN Terrassenpunkt ist, aber es gibt keine Extremstellen.

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Vielen Dank für den Hinweis!