binomiale Summenberechnung

Question

Hallo, ich brauche Hilfe um meine Matheaufgabe zu berechnen. Ich bin nicht so weit mit der binomialen Summenberechnung, da heute meine zweite Vorlesung war. Könnt ihr mir helfen?

$$\sum \limits_{k=1}^{n}n\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Aloha :)$$S:=\sum\limits_{k=1}^nn\binom{n-1}{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{(k+1)-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}$$Jetzt kannst du den bekannten binomischen Lehrsatz anwenden, dieser lautet:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Dazu multiplizieren wir die Formel für \(S\) mit einer aufgemotzten "1":$$S=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\cdot1^{(n-1)-k}\cdot1^k=n(1+1)^{n-1}=n\cdot2^{n-1}$$

Answer 2

n ist ein konstanter Faktor und kann vor die Summe geschrieben werden.

Jetzt nimm doch mal als Beispiel n=5 an.

Dann wäre zu berechnen:

5(\( \begin{pmatrix}4\\0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4\\3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}) \).

Ist dir bekannt, dass die Summe aller Zahlen einer Zeile im Pascalschen Dreieck immer eine Zweierpotenz ist?