Bevölkerungswachstum N(t) und N'(t)

Question

Land hat 15 Mio Einwohner. Wachstumsrate zu Beginn: 200 000 Personen/Jahr und nach 2 Jahren 250 000 Personen/Jahr.

a) Funktion N'(t)=a.e^b.t ermitteln, welche die Änderungsrate beschreibt

b) Bestandsfunktion N(t) ermitteln

c) Wann ist Bevölkerung auf 20 Mio gewachsen?

d) Wann Änderungsrate 1 Mio. Pers/Jahr?

e) durchschnittliche Wachstumsrate vom 5. bis 10. Jahr

f) Verdoppelungszeit bestimmen.

Bitte um Lösungsweg mit Erklärung.

Habe bei a) N'(t)=200000.e^0,11t raus

Bei b) habe ich zuerst integriert und bekommt 200000.(1/0,11).e^-0,11t.

Danach N(0) = 15  -> (0,2*1/0,11)+C=15 ->... dann habe ich c rausbekommen.

Aber das sieht alles so falsch aus. Die Ergebnisse sehen auch total komisch aus. Kann mal jemand korrigieren?

Answer 1

N'(t)=a*e^(b*t)   mit

N ' (0) = a = 200000  und N ' (2)= 250000

         =>    250000 = 200000 * e^(b*2)

                 1,25 = e^(2b)

            ln(1,25) = 2b ==>   0,11157

==>   N ' (t) =  200000 * e^(0,11157*t)

b) Integration gibt N(t) = 1792568* e^(0,11157*t) + C

mit    15 000 000 = N(0) also

N(t) = 1792568* e^(0,11157*t) + 13207432

Comments

Hi. Aus meinem Mathe Lehrbuch gab auch ne ähnliche Beispielaufgabe. Bei b müsste man demnach aus N(0)=15000000 , dann 1792597+c = 15 Mio., um danach c herauszubekommen.

Was sagst du dazu? Kann man diese 15 Mio einfach als c anhängen? Weil aus dem Lehrbuch steht komischerweise ne andere Rechnung.

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Oh pardon, da hatte ich mich vertan, es ist ja e^0 = 1 und nicht 0.

Das Buch hat Recht !

Und für c) brauchst du dann den Ansatz

20000000=N(t) und musst das t ausrechnen.

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Was muss ich bei d e und f machen?

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d) 1000000=N ' (t) nach t auflösen

e) 1/5  *   Integral von 5 bis 10 über N ' (t) dt

f)  N(t) = 2* N(0)  nach t auslösen

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Alles klar. Danke dir. Kurze Frage noch: Ist meine Funktion für b) richtig?

N(t) = 1819*e^0,11t + 13207403

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Der Faktor ist falsch (Größenordnung 10^6) , ich bekomme

N(t) = 1818182*e^(0,11t) + 13207432

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Hi. Kannst du bitte dein Rechenweg für 13207432 zeigen?

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N(t) = 1792568* e^(0,11157*t) + C   also

  15 000 000 =  1792568* e^(0,11157*0) + C

15 000 000 =  1792568* 1+ C

C =15 000 000 -  1792568 = 13207432

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Hi. Müsste anstatt 1792568 nicht 1792596 sein? , denn 200 000 / 0,11157 = 1792596.

Oder wie hast du die 1792568 rausbekommen?

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Hast Recht, ich hatte mit gerundet 0,111 gerechnet.

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Eine Frage zu e)

Wie kommst du auf 1/5 ?

:)

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Es ist doch beim Mittelwert von a bis b immer

1/(b-a) * Integral von a bis b

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Oh. Alles klar. Danke dir sehr. Das habe ich aber wirklich nicht gewusst, da wir sowas noch nicht hatten. :')

Nochmal vielen Dank!