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Hallo, ich bräuchte  Eure Hilfe.

Ich habe folgende Funktion gegen:

f(x, y) = 4x3-12x2 +3xy2  aus dieser Funktion die relativen Extrema bestimmn:

Ich habe jetzt die partiellen 1 Ableitungen gebildet:

f'(x) = 12x2 - 24x +3 y2

f''(x) = 24x - 24

f'(y) =6xy

f''(y)= 6x

Und die gemischte Ableitung:

fxy(x y) = fyx(x, y) =6y

Zum Schluss würde ich es dann mit der Hesse Matrix lösen.

Aber ich hänge fest den ich muss die x-Stellen Ermitteln das macht man mit einem Gleichungssystem und den beiden 1. Ableitungen.

Mein Problem ist jetzt das ich Die partielle 1.Ableitung nach x nicht einfach einsetzen kann: Ich muss diese umstellen oder?

12x2 - 24x+3y2 so umformen das

x2 - .....  + ....…. =0 rauskommt und ich dann das Gleichungssystem aufstellen kann.

Ich habe mir gedacht das mann das mit der y \sqrt{y} vielleicht umstellen kann aber ich weiß es leider nicht.

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Du hast doch auch die partielle Abl. nach y mit   6xy = 0

Das geht nur für x=0 oder y=0 .

Die beiden Fälle setzt du bei  12x2 - 24x +3 y2 = 0 ein

und hast    x=0 und  3y2 =0  also krit. Punkt (0;0)

oder   y=0 und 12x2 - 24x = 0 bzw.    12x ( x - 2) = 0

also außer dem 1. krit. Punkt noch (2;0) .

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Danke, muss ich das dann so rechen

12x2 - 24=0 /+24

12x2 =24 und dann mit der pq-Formel weiter?

Muss es ohne Taschenrechner lösen.

12x²-24x=0

12x(x-2)=0

Jetzt klarer?

Ja das mit dem 12x2 - 24=0

Das wird dann faktorisiert somit kommt dann 12x(x-2) = 0 dann kommt für krit. Punkt (0,2) raus s. Habe ich das so richtig verstanden?

mit pq-Formel geht auch, dann aber so:

12x2 - 24=0 /:12

   x2 - 2  = 0

also p=0  und q=-2

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Sollte es Extremstellen geben, müssen beide partielle erste Ableitungen 0 sein.

Das ist bei f'(y) =6xy besonders einfach, weil es zu den beiden möglichen Fällen x=0 und y=0 führt, mit denen man jeweils getrennt in

f'(x) = 12x² - 24x +3 y² hineingeht.

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Aloha :)

f(x,y)=4x312x2+3xy2f(x,y)=4x^3-12x^2+3xy^2(xfyf)=(12x224x+3y26xy)=!(00){y2=4x2+8xx=0  y=0\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{12x^2-24x+3y^2}{6xy}\stackrel{!}{=}\binom{0}{0}\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}y^2=-4x^2+8x\\x=0\;\lor y=0\end{array}\right.Mit x=0x=0 wird auch y2=0y^2=0, das liefert den Kandidaten (00)(0|0).

Mit y=0y=0 wird 4x2+8x=4x(2x)=0-4x^2+8x=4x(2-x)=0, das liefert x=0x=0 und x=2x=2. Den Kandiaten (00)(0|0) haben wir schon, neu hinzu kommt der Kandidaten (20)(2|0).

Zur Bewertung der Extrema benötigen wir die Hesse-Matrix:H(x,y)=(xxfxyfyxfyyf)=(24x246y6y6x)H(x,y)=\left(\begin{array}{c}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24x-24 & 6y\\6y & 6x\end{array}\right)

Kandidat (00)(0|0):H(0,0)=(24000)EW=0,24kein ExtremumH(0,0)=\left(\begin{array}{c}-24 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad EW=0,-24\quad\Rightarrow\quad\text{kein Extremum}

Kandidat (20)(2|0):H(2,0)=(240012)EW=12,24MinimumH(2,0)=\left(\begin{array}{c}24 & 0\\0 & 12\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad EW=12,24\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei (20)(2|0).

Hinweis: Bei jeder quadratischen Matrix ist die Summe der EW gleich der Spur und das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante. Bei einer 2x2-Matrix kann man damit die EW sehr schnell bestimmen. Man sucht 2 Zahlen, deren Summe gleich der Spur und deren Produkt gleich der Determinane ist.

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Dankeschön. Die Extrema habe ich mit der Determinanten Version gerechnet aber vielen Dank.

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