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Kandidaten für Extremwerte findest du immer dort, wo die 1-te Ableitung Null wird:$$f(x)=x^3+3x^2-9x\implies$$$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)$$Kandidaten für Extremwerte sind also \(x_1=-3\) und \(x_2=1\).
Nun musst du die Kandidaten noch prüfen. Dazu kannst du als hinreichende Bedingung das Vorzeichen der 2-ten Ableitung nutzen. Ist die 2-te Ableitung positiv, ist der Graph links-gekrümmt und es liegt ein Minimum vor. Ist die 2-te Ableitung negativ, ist der Graph rechts-gekrümmt und es liegt ein Maximum vor.
$$f''(x)=6x+6$$$$f''(x_1)=f''(-3)=-12<0\implies\text{Maximum bei }x_1=-3$$$$f''(x_2)=f''(1)=12>0\implies\text{Minimum bei }x_2=1$$
Bei der zweiten Funktion gehen wir ähnlich vor. Wir suchen wieder die Nullstellen der ersten Ableitung$$g(x)=\frac15x^4+x^2\implies$$$$g'(x)=\frac45x^3+2x=\frac45x\left(x^2+\frac52\right)$$Der Termin in der Klammer wird für kein \(x\) zu Null, weil \(x^2\ge0\) ist. Also hat die Ableitung nur eine Nullstelle bei \(x_1=0\). Das ist unser Kandidat für ein Extremum.
Wir prüfen den Kandidaten wieder mit der 2-ten Ableitung:$$g''(x)=\frac{12}{5}x^2+2\implies$$$$g''(x_1)=g''(0)=2>0\implies\text{Minimum bei }x_1=0$$
