Gehen wir die Punkte einmal anhand des Beispiels
f(x) = x^3 - 2x^2 + x
durch.
Nullstellen: f(x) = 0
Die Nullstellen in diesem Beispiel liegen bei x1 = 0 und x2 = 1
Symmetrie:
Es wird getestet auf Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie.
Achsensymmetrie liegt z.B. vor bei der Funktion f(x) = x^2, denn es gilt: f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: f(-x) = -f(x), das gilt z.B. für f(x) = x^3
In unserem Beispiel liegen diese beiden Symmetrien nicht vor, sondern eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt.
Dazu später.
Hoch- und Tiefpunkte:
f'(x) = 0
f''(x) < 0 Maximum
f''(x) > 0 Minimum
Unser Beispiel:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 1
Nullsetzen mit p-q-Formel:
x^2 - 4/3 * x + 1/3 = 0
x1 = 2/3 - √(4/9 - 3/9) = 2/3 - 1/3 = 1/3
x2 = 2/3 + √(4/9 - 3/9) = 2/3 + 1/3 = 1
Diese Werte eingesetzt in die 2. Ableitung, um zu sehen, ob es überhaupt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist:
f''(x) = 6x - 4
f''(1/3) = 2 - 4 = -2 < 0 => Maximum an der Stelle (1/3|f(1/3)) - man muss dann noch 1/3 in die Ursprungsfunktion f(x) einsetzen.
f''(1) = 6 - 4 = 2 > 0 => Minimum an der Stelle ((1|f(1)) - hier auch :-)
Krümmungsverhalten:
Ich gebe jetzt nur die Bedingungen an, ausrechnen kannst Du es dann sicher selbst:
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen): f''(x) ≥ 0
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen): f''(x) ≤ 0
Wendepunkte:
f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0
In unserem Beispiel liegt Punktsymmetrie zum Wendepunkt vor.
Sattelpunkte:
f'(x) = 0 und f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0
