Achsenschnittpunkte/Linearfaktordarstellung und Verhalten von x±∞ von f(x)= -0,5x^3+2x^2-2,5x+1

Question

Funktionsgleichung lösen

f(x)= -0,5x^3+2x^2-2,5x+1

Achsenschnittpunkte/Linearfaktordarstellung und Verhalten von x±∞ müssen berechent werden

Brauche  Hilfe. Vielen, vielen Dank schon mal.

Answer 1

f(x) = -0.5x^3 + 2x^2 - 2.5x + 1

nullstelle raten, erfolg beim ersten versuch mit x=1
damit haben wir den ersten linearfaktor: (x-1)
um die anderen beiden linearfaktoren zu bekommen, machen
wir eine poynomdivision(oder wenden das horner schema an)

-0.5x^3 + 2x^2 - 2.5x + 1 : x-1 = -0.5x^2 + 1.5x - 1
-(-0.5x^2 + 0.5x^2)
--------------------------
   1.5x^2 - 2.5x - 1
 -(1.5x^2 - 2.5x - 1)
--------------------------
   -x + 1
 -(-x + 1)
--------------------------
    0  
nach der polynomdivision erhalten wir das reduzierte polynom -0.5x^2 + 1.5x - 1
dessen nullstellen wir mit der pq formel lösen

-0.5x^2 + 1.5x - 1 = 0 | * (-2)
x^2 - 3x + 2 = 0

x_1,2 = 1.5 ± √(2.25-2)
x₁ = 2
x₂ = 1

wir erhalten zwei weitere nullstellen bei x₁ = 2 und x₂ = 1 und damit auch
zwei weitere linearfaktoren (x-1) und (x-2)
mit den drei linearfaktoren lässt sich f(x) in der produktform schreiben
-0.5x^3 + 2x^2 - 2.5x + 1 = -0.5(x-1)(x-1)(x-2)

f(x) hat eine doppelte nullstelle bei x = 1 und eine nullstelle bei x = 2
den y-achsenabschnitt erhalten wir, indem wir in der funktionsgleichung x = 0 setzen
dann bekommen wir y = (0-1)(0-1)(0-2) = -0.5(-1)(-1)(-2) = 1
der y-achsenabschnitt ist y = 1

verhalten bei x -> ±∞

-0.5x^3 + 2x^2 - 2.5x + 1 = x^3(0.5 - 2/x + 1/x^3)

lim x-> +∞  = (∞)^2(-0.5 - 2/∞ + 1/∞) = -∞ -> 3Q
lim x-> -∞  = (-∞)^2(-0.5 - 2/∞ + 1/∞) = ∞ -> 2Q

p.s.

ich hatte vergessen 0.5 auszuklammern. ist jetzt korrigert.

lg

Comments

Wo? Bitte ich hab davon keine Ahnung.

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gorgar,  den Parameter 0,5 ausklammern, dann stimmt es. :)

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Also ist das korrekt?

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ich denke ja, man kann es mit WolframAlpha überprüfen

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@Akelei: ja, habe ich zum glück dann auch gemerkt. hab die antwort wieder korrigiert reingestellt.

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Noch eine Frage wie geht das dann bei dieser Aufgabe? f(x)=x^4 -5^2+4?

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prinzipiell genauso. nullstellen bestimmen und faktorisieren.soll das nicht eher 5x^2 statt 5^2 heißen?

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Ja. Bitte könnten Sie mir helfen das ist echt nicht mein Thema.

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@johnwayne: Neue Fragen in Zukunkft als neue Fragen eröffnen, da sie (und ihre Antwort) sonst von der Suche nicht gefunden werden kann.

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z = x^2
z^2 = x^4

substitution und nullstellenbestimmung mit der pq formel
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
z^2 - 5z + 4 = 0
z_1,2 = 2.5 ± √(6.25 - 4)
z_1,2 = 2.5 ± 1.5
z₁ = 4
z₂ = 1

rücksubstitution
x = √z

x_1,2 = ±√z1
x_1,2 = ±2

x_3,4 = ±√z2
x_3,4 = ±1

x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 2, x₄ = -2
das sind die nullstellen von f(x) = x^4 - 5x^2 + 4
faktorisiert schreibt sich
f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 = (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)

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-0.5x³ + 2x² - 2.5x + 1 = -x³(0.5 - 2/x +2.5/x^2 - 1/x³) 

lim x-> +∞  = - (∞)³(0.5 - 2/∞ +2.5/∞  - 1/∞) = -∞ 
lim x-> -∞  = - (-∞)³(0.5 + 2/∞ +2.5/∞+ 1/∞) = ∞  

Vorzeichen innerhalb der Rechnung ohne Gewähr. Resultat ok.

Answer 2

Vielleicht mal die -0,5 ausklammern, dann erhält man:

f(x) = -0,5 *(x³-4x²+5x-2)          | nun den Term in der Klammer mit der polynomdivision lösen

                  ( x³-4x²+5x-2): (x-2) =x² -2x +1

                   x²-2x+1= (x-1)²

Die Linearfaktorzerlegung ist dann :

f(x)= -0,5 (x-1)²*(x-2)

Nullstellen x_1,2= 1  und  x₃= 2  , der Schnittpunkt mit der y-Achse ist  (0| 1)

Comments

Gemeint ist wahrscheinlich

( x³-4x²+5x-2): (x-2) =x² -2x +1